II.
Considérons présentement l’intégrale
Si l’on nomme
cette intégrale, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dr}}=&-\int _{0}^{\infty }xdx\sin rxe^{-a^{2}x^{2}}\\=&\left({\frac {1}{2a^{2}}}\sin rxe^{-a^{2}x^{2}}\right)_{0}^{\infty }-{\frac {r}{2a^{2}}}\int _{0}^{\infty }dx\cos rxe^{-a^{2}x^{2}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14c3b6c64af6f2ebfd97aef3d655545ddfc5f8b)
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {dy}{dr}}+{\frac {r}{2a^{2}}}y=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b867a1ba46546993fb4e205ae8982d08d626cc60)
L’intégrale de cette équation est
![{\displaystyle y=\mathrm {B} e^{\frac {-r^{2}}{4a^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90be2113b22282a56d8755088b291abbea34892e)
étant une constante arbitraire ; pour la déterminer, on observera que, si l’on fait
nul,
devient l’unité, et l’on a
![{\displaystyle \nu =\int _{0}^{\infty }dxe^{-a^{2}x^{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7353055504bc0bdb57ca62d1314ae1d40a8a64a)
cette dernière intégrale est, comme on sait, égale à
donc
![{\displaystyle \mathrm {B} ={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b34729b24c0c1970f81150d2c4ce0a087c86953b)
on a donc
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }dx\cos rxe^{-a^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}e^{\frac {-r^{2}}{4a^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f878a3ae443b7aeb798ed78a482d974d612a5860)
De là on tire
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}dx\cos rxe^{-a^{2}x^{2}}=\pm {\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}{\frac {d^{2n}}{dr^{2n}}}e^{\frac {-r^{2}}{4a^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81feba9754d20f89538ede7b2ef300cc91758f6b)
le signe
ayant lieu si
est pair, et le signe
si
est impair ; on aura pareillement, en différenciant par rapport à ![{\displaystyle r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250644a0f511e9078be6f89ba78a606a0e08c0a0)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}dx\sin rxe^{-a^{2}x^{2}}=\mp {\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}{\frac {d^{2n+1}}{dr^{2n+1}}}e^{\frac {-r^{2}}{4a^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f533d9cee3961f1cade33c8e49fdd8316a763626)