est la racine carrée de 
et cette racine est également 
mais l’intégrale 
ne devenant jamais infinie dans le cas même de 
infini, et de plus 
ne changeant point, en y changeant le signe de 
il est clair que l’on doit choisir celle des deux racines et 
dont la partie réelle est positive. On trouve ainsi, par exemple,
IV.
Application de l’analyse précédente aux probabilités.
Appliquons l’analyse précédente à la théorie des probabilités. Pour cela, considérons deux joueurs 
et 
dont les adresses soient égales, et jouant ensemble de manière que 
ait primitivement jetons ; que, à chaque coup qu’il perd, il donne un de ses jetons au joueur 
et que, à chaque coup qu’il gagne, il en reçoive un du joueur qui est supposé en avoir un nombre infini. Le jeu continue jusqu’à ce que le joueur ait gagné tous les jetons de 
Cela posé, étant un grand nombre, on demande en combien de coups on peut parier un contre un, ou deux contre un, ou trois contre deux, etc., que le joueur aura gagné la partie.
Nous allons d’abord établir que la partie doit finir. Pour cela, soit 
la probabilité qu’elle finira. Après le premier coup, cette probabilité est ou 
ou 
suivant que le joueur gagne ou perd ce coup ; on a donc
L’intégrale de cette équation aux différences est
et 
étant des constantes arbitraires. J’observe d’abord que la constante doit être nulle, autrement croîtrait indéfiniment, ce qui ne
