est la racine carrée de
et cette racine est également
mais l’intégrale
ne devenant jamais infinie dans le cas même de
infini, et de plus
ne changeant point, en y changeant le signe de
il est clair que l’on doit choisir celle des deux racines
et
dont la partie réelle est positive. On trouve ainsi, par exemple,
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dr\cos rx}{1+x^{4}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}e^{\frac {-r}{\sqrt {2}}}\left(\cos {\frac {r}{\sqrt {2}}}+\sin {\frac {r}{\sqrt {2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef36fa387e30390be6dbb6c0e72621ffc8e7dd60)
IV.
Application de l’analyse précédente aux probabilités.
Appliquons l’analyse précédente à la théorie des probabilités. Pour cela, considérons deux joueurs
et
dont les adresses soient égales, et jouant ensemble de manière que
ait primitivement
jetons ; que, à chaque coup qu’il perd, il donne un de ses jetons au joueur
et que, à chaque coup qu’il gagne, il en reçoive un du joueur
qui est supposé en avoir un nombre infini. Le jeu continue jusqu’à ce que le joueur
ait gagné tous les jetons de
Cela posé,
étant un grand nombre, on demande en combien de coups on peut parier un contre un, ou deux contre un, ou trois contre deux, etc., que le joueur
aura gagné la partie.
Nous allons d’abord établir que la partie doit finir. Pour cela, soit
la probabilité qu’elle finira. Après le premier coup, cette probabilité est ou
ou
suivant que le joueur
gagne ou perd ce coup ; on a donc
![{\displaystyle y_{r}={\frac {1}{2}}y_{r+1}+{\frac {1}{2}}y_{r-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd2319196c020a623d56275c13f842bbbe0730b)
L’intégrale de cette équation aux différences est
![{\displaystyle y_{r}=a+br,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d293ce0642b0fa18eca0e43725b5086b6003fd4d)
et
étant des constantes arbitraires. J’observe d’abord que la constante
doit être nulle, autrement
croîtrait indéfiniment, ce qui ne