peut être, puisqu’il ne peut jamais dépasser l’unité. De plus est lorsque car alors, n’ayant plus de jetons, la partie est finie ; donc
Cherchons maintenant la probabilité que la partie sera finie avant ou au coup En nommant cette probabilité, on aura
Il faut intégrer cette équation aux différences finies partielles en remplissant les conditions suivantes : 1o que soit nul lorsque est moindre que 2o qu’il soit égal à l’unité lorsque est nul. Ces deux conditions étant remplies, l’équation précédente aux différences donne toutes les valeurs de quels que soient et Présentement, l’expression suivante de satisfait à ces conditions et à l’équation aux différences partielles, d’où il suit qu’elle exprime la vraie valeur de
est égal à en effet, il ne peut être que ou ce même nombre augmenté d’un nombre pair, car le nombre de parties jouées doit être égal à ou le surpasser d’un nombre pair, puisque ne peut gagner la partie, qu’il ne gagne le nombre des jetons de plus ceux qu’il a perdus, et il faut pour cela deux parties pour chaque jeton, l’une pour le perdre et l’autre pour le gagner. Je ne donnerai point l’analyse qui m’a conduit à l’expression précédente : je me contenterai de faire voir qu’elle satisfait à l’équation aux différences partielles et aux conditions prescrites ci-dessus. D’abord, en la substituant dans l’équation aux différences partielles, on a
![{\displaystyle =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi (\cos \varphi )^{x}}{\sin \varphi }}\left[{\frac {1}{2}}\sin(r+1)\varphi +{\frac {1}{2}}\sin(r-1)\varphi \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb699273f6f59a4e5dd83e6109571598f26db978)
équation évidente. De plus, si l’on fait nul, l’expression précédente
