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ce qui donne, en négligeant les sixièmes puissances de $\varphi$ et ses quatrièmes puissances qui ne sont pas multipliées par $r+2i+1,$

$\log {\frac {(\cos \varphi )^{r+2i+1}}{\sin \varphi }}=-\log \varphi -{\frac {r+2i+{\frac {2}{3}}}{2}}\varphi ^{2}-{\frac {r+2i+{\frac {2}{3}}}{12}}\varphi ^{4}.$

En faisant donc

$a^{2}={\frac {r+2i+{\frac {2}{3}}}{2}},$

on aura

${\frac {(\cos \varphi )^{r+2i+1}}{\sin \varphi }}={\frac {1-{\cfrac {a^{2}}{6}}\varphi ^{4}}{\varphi }}e^{-a^{2}\varphi ^{2}},$

par conséquent,

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi \sin r\varphi (\cos \varphi )^{r+2i+1}}{\sin \varphi }}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi \left(1-{\cfrac {a^{2}}{6}}\varphi ^{4}\right)}{\varphi }}\sin r\varphi e^{-a^{2}\varphi ^{2}}.$

Cette dernière intégrale peut être prise depuis $\varphi =0$ jusqu’à $\varphi$ infini, car elle doit être prise depuis $\varphi =0$ jusqu’à $\varphi ={\frac {1}{2}}\pi \,;$ or, $a^{2}$ étant un nombre considérable, $e^{-a^{2}\varphi ^{2}}$ devient excessivement petit lorsqu’on y fait $\varphi ={\frac {1}{2}}\pi ,$ en sorte qu’on peut le supposer nul, vu l’extrême rapidité avec laquelle cette exponentielle diminue lorsque $\varphi$ augmente. Maintenant on a

${\frac {d}{dr}}\int _{0}^{\infty }{\frac {d\varphi \left(1-{\cfrac {a^{2}}{6}}\varphi ^{4}\right)}{\varphi }}\sin r\varphi e^{-a^{2}\varphi ^{2}}=\int _{0}^{\infty }d\varphi \left(1-{\frac {a^{2}}{6}}\varphi ^{4}\right)e^{-a^{2}\varphi ^{2}}\cos r\varphi \,;$

on a d’ailleurs, par l’article II,

$\int _{0}^{\infty }d\varphi \cos r\varphi e^{-a^{2}\varphi ^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}e^{\frac {-r^{2}}{4a^{2}}},$

$\int _{0}^{\infty }\varphi ^{4}d\varphi \cos r\varphi e^{-a^{2}\varphi ^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}{\frac {d^{4}}{dr^{4}}}e^{\frac {-r^{2}}{4a^{2}}}={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{8a^{5}}}e^{\frac {-r^{2}}{4a^{2}}}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}+{\frac {r^{4}}{12a^{4}}}\right)\,;$

d’où l’on tire, en supposant ${\frac {r^{2}}{4a^{2}}}=t^{2},$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {d\varphi \sin r\varphi (\cos \varphi )^{r+2i+1}}{\sin \varphi }}={\sqrt {\pi }}\left[\int _{0}^{\mathrm {T} }dte^{-t^{2}}-{\frac {te^{-t^{2}}}{8a^{2}}}\left(1-{\frac {2}{3}}t^{2}\right)\right]\,;$