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ainsi la probabilité que $\mathrm {A}$ gagnera la partie dans un nombre $r+2i$ de coups est

$1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left[\int _{0}^{\mathrm {T} }dte^{-t^{2}}-{\frac {\mathrm {T} e^{-\mathrm {T} ^{2}}}{8a^{2}}}\left(1-{\frac {2}{3}}\mathrm {T} ^{2}\right)\right],$

$\mathrm {T} ^{2}$ étant égal à ${\frac {r^{2}}{4a^{2}}}.$

Si l’on cherche le nombre de coups dans lesquels on peut parier un contre un que cela aura lieu, on fera cette probabilité égale à ${\frac {1}{2}},$ ce qui donne

$\int _{0}^{\mathrm {T} }dte^{-t^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}+{\frac {\mathrm {T} e^{-\mathrm {T} ^{2}}}{8a^{2}}}\left(1-{\frac {2}{3}}\mathrm {T} ^{2}\right).$

Nommons $\mathrm {T} '$ la valeur de $t$ qui correspond à l’équation

$\int _{0}^{t}dte^{-t^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{4}},$

et supposons $\mathrm {T=T'} +q,$ $q$ étant de l’ordre ${\frac {1}{a^{2}}}.$ L’intégrale $\int _{0}^{\mathrm {T} }dte^{-t^{2}}$ sera augmentée à très peu près de $qe^{-\mathrm {T} ^{2}},$ ce qui donne

$qe^{-\mathrm {T} ^{2}}={\frac {\mathrm {T} 'e^{-\mathrm {T} '^{2}}}{8a^{2}}}\left(1-{\frac {2}{3}}\mathrm {T} '^{2}\right)\,;$

on aura donc

$\mathrm {T^{2}=T'^{2}} +{\frac {\mathrm {T} '^{2}}{4a^{2}}}\left(1-{\frac {2}{3}}\mathrm {T} '^{2}\right).$

Ayant ainsi $\mathrm {T} ^{2}$ aux quantités près de l’ordre ${\frac {1}{a^{4}}},$ on aura, aux quantités près de l’ordre ${\frac {1}{a^{2}}},$ en vertu de l’équation

$2a^{2}=r+2i+{\frac {2}{3}}={\frac {r^{2}}{2\mathrm {T} ^{2}}},$

la suivante

$r+2i={\frac {r^{2}}{2\mathrm {T} '^{2}}}-{\frac {7}{6}}+{\frac {2}{3}}\mathrm {T} '^{2}.$

Pour déterminer la valeur de $\mathrm {T} '^{2},$ nous observerons qu’ici $\mathrm {T} '$ est plus petit que ${\frac {1}{2}}\,;$ ainsi l’équation transcendante et intégrale

$\int dte^{-t^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}$