être alors dans l’urne
puisque le nombre total des boules blanches des deux urnes est
dans tous ces cas, il reste
boules blanches dans l’urne
le produit
est donc une des parties de
Il peut arriver encore que l’opération
ième fasse sortir et entrer dans l’urne
une boule noire, ce qui conserve dans cette urne
boules blanches ; ainsi
étant après l’opération
ième le nombre des boules noires de l’urne
et
étant celui des mêmes boules dans l’urne
on voit, parle raisonnement précédent, que
est encore une partie de
S’il y a
boules blanches dans l’urne
après l’opération
ième et que l’opération suivante en fasse sortir une boule noire et y fasse rentrer une boule blanche, il y aura
boules blanches dans l’urne
à l’opération
ième. Le nombre des cas dans lesquels cela peut avoir lieu est le produit de
par le nombre
des boules noires de l’urne
après l’opération
ième et le nombre
des boules blanches de l’urne
après la même opération ;
est donc encore une partie de
Enfin, s’il y a
boules blanches dans l’urne
après l’opération
ième et que l’opération suivante en fasse sortir une boule blanche et y fasse rentrer une boule noire, il y aura encore, après cette dernière opération,
boules blanches dans l’urne. Le nombre des cas dans lesquels cela peut arriver est le produit de
par le nombre
des boules blanches de l’urne
et par le nombre
des boules noires de l’urne
est donc encore une partie de
En réunissant toutes ces parties et en égalant leur somme à
on aura l’équation aux différences finies partielles
![{\displaystyle z_{x,r+1}=\left({\frac {x+1}{n}}\right)^{2}z_{x+1,r}+{\frac {2x}{n}}\left(1-{\frac {x}{n}}\right)z_{x,r}+\left(1-{\frac {x-1}{n}}\right)^{2}z_{x-1,r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8474d6f53480cc52fb70cf619abe10ced78b8c2)
Quoique cette équation soit différentielle du second ordre par rapport à la variable
son intégrale ne renferme qu’une fonction arbitraire