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peut être transformée dans la suivante :

$\mathrm {T'-{\frac {1}{3}}T'^{3}+{\frac {1}{1.2}}{\frac {1}{5}}T'^{5}-{\frac {1}{1.2.3}}{\frac {1}{7}}T'^{7}+\ldots } ={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}.$

En résolvant cette équation, on trouve

$\mathrm {T} '^{2}=0{,}2102497.$

Ainsi, en supposant $r=100,$ on aura

$r+2i=23780{,}14\,;$

il y a donc alors du désavantage à parier un contre un que $\mathrm {A}$ gagnera la partie dans $23780$ coups ; mais il y a de l’avantage à parier qu’il la gagnera dans $23781$ coups.

V.

Considérons deux urnes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ renfermant chacune le même nombre $n$ de boules ; et supposons que, dans le nombre total $2n$ de boules, il y en ait autant de blanches que de noires. Concevons que l’on tire en même temps une boule de chaque urne, et qu’en suite on mette dans une urne la boule extraite de l’autre. Supposons que l’on répète cette opération un nombre quelconque $r$ de fois, en agitant à chaque fois les urnes pour en bien mêler les boules ; et cherchons la probabilité qu’après ce nombre $r$ d’opérations il y aura $x$ boules blanches dans l’urne $\mathrm {A} .$

Soit $z_{x,r}$ cette probabilité ; $n^{2r}$ est le nombre des combinaisons possibles dans $r$ opérations, car, à chaque opération, les boules de l’urne $\mathrm {A}$ peuvent se combiner avec chacune des $n$ boules de l’urne $\mathrm {B} ,$ ce qui produit $n^{2}$ combinaisons ; $n^{2r}z_{x,r}$ est donc le nombre des combinaisons dans lesquelles il peut y avoir $x$ boules blanches dans l’urne $\mathrm {A}$ après ces opérations. Maintenant il peut arriver que l’opération $(r+1)$^ième fasse sortir une boule blanche de l’urne $\mathrm {A} ,$ et y fasse rentrer une boule blanche : le nombre des cas dans lesquels cela peut arriver est le produit de $n^{2r}z_{x,r}$ par le nombre $x$ des boules blanches de l’urne $\mathrm {A} ,$ et par le nombre $n-x$ des boules blanches qui doivent