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$s=-\infty$ jusqu’à $s=+\infty ,$ l’intégrale relative à $s'$doit être prise dans les mêmes limites, on aura

$\mathrm {U} ={\frac {k{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {1+{\text{ϐ}}'}}}e^{\frac {-\mu ^{2}}{1+{\text{ϐ}}'}}.$

En comparant cette expression à la valeur initiale de $\mathrm {U} ,$ qui est

$\mathrm {U} ={\frac {2i}{\sqrt {n\pi }}}e^{-i^{2}\mu ^{2}},$

et observant que ϐ est la valeur initiale de ϐ’, on aura

$i^{2}={\frac {1}{1+{\text{ϐ}}}},$

d’où l’on tire

${\text{ϐ}}={\frac {1-i^{2}}{i^{2}}},\qquad {\text{ϐ}}'={\frac {1-i^{2}}{i^{2}e^{4r'}}}.$

On doit avoir ensuite

${\frac {k{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {1+{\text{ϐ}}}}}={\frac {2i}{\sqrt {n\pi }}},$

ce qui donne

$k{\sqrt {\pi }}={\frac {2}{\sqrt {n\pi }}},$

valeur que l’on obtient encore par la condition que

${\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {U} d\mu {\sqrt {n}}=1\,;$

on aura donc pour l’expression de $\mathrm {U} ,$ quel que soit $r',$

$\mathrm {U} ={\frac {2}{n\pi \left(1+{\text{ϐ}}'\right)}}e^{\frac {-\mu ^{2}}{1+{\text{ϐ}}'}}.$

On trouve, en effet, que cette valeur de $\mathrm {U} ,$ substituée dans l’équation aux différentielles partielles en $\mathrm {U} ,$ y satisfait. ϐ’ diminuant sans cesse quand $r'$ augmente, la valeur de $\mathrm {U}$ varie sans cesse et devient à sa limite, lorsque $r'$ est infini,

$\mathrm {U} ={\frac {2}{n\pi }}e^{-\mu ^{2}}.$