En effet,
est moindre que
puisque
est une quantité positive ; on peut donc, dans le second membre de l’inégalité précédente, substituer pour
étant une quantité positive. En faisant des substitutions semblables pour tous les produits semblables, ce second membre sera égal à
moins une quantité positive.
Le résultat
![{\displaystyle z={\frac {\mathrm {S} p^{(i)}\varphi ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c2a0295b02a70a92158b2d2179a1fe8e29c63e)
auquel correspond le minimum d’erreur à craindre, est celui que donne la méthode des moindres carrés des erreurs, car la somme de ces carrés étant
![{\displaystyle (pz-\varphi )^{2}+\left(p^{(1)}z-\varphi ^{(1)}\right)^{2}+\ldots +\left(p^{(s-1)}z-\varphi ^{(s-1)}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad17c05f3a64883074e05ac37dea88a27eaea99)
la condition du minimum de cette fonction, en faisant varier
donne pour cette variable l’expression précédente ; cette méthode doit donc être employée de préférence, quelle que soit la loi de facilité des erreurs, loi dont dépend le rapport
Quoique cette loi soit presque toujours ignorée, cependant on peut supposer
En effet, si l’on suppose que les limites des erreurs de chaque observation sont
alors
étant
la valeur de
s’étendra depuis zéro jusqu’à l’unité de sorte qu’on obtiendra les intégrales
![{\displaystyle 2\int _{0}^{1}dx'\Psi (x')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b28f8f35e9f34ac20688184a4554fc4ad11feeb)
et
![{\displaystyle \int _{0}^{1}x'^{2}dx'\Psi (x'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7c70eed79eac7ceb4ddc5ef46e54f44deacc7a)
que
et
représentent ; il faut donc faire voir qu’alors
![{\displaystyle 2\int _{0}^{1}dx'\Psi (x')>6\int _{0}^{1}x'^{2}dx'\Psi (x').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ed3749f793258f8334ceee01833cac151df5e5)