Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 12.djvu/418

multipliées respectivement par $m,m^{(1)},\ldots ,$ ou la fonction $(m)$ sera égale à $l$ en même temps que la fonction $(n),$ somme des erreurs de chaque observation, multipliées respectivement par $(n),n^{(1)},\ldots ,$ sera égale à $l'\,;$ cette probabilité est donc, en supposant $m,m^{(1)},\ldots ,n,n^{(1)},\ldots$ des nombres entiers,

$(1)\left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{4\pi ^{2}}}&\int _{\pi }^{\pi }\int _{\pi }^{\pi }d\varpi d\varpi 'e^{-l\varpi {\sqrt {-1}}-l'\varpi '{\sqrt {-1}}}\\&\times \left[2\int _{0}^{a}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos(mx\varpi +nx\varpi ')\times \ldots \right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.\times 2\int _{0}^{a}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos \left(m^{(s-1)}x\varpi +n^{(s-1)}x\varpi '\right)\right],\end{aligned}}\right.$

$\pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité.

En réduisant les cosinus en série, et faisant

${\frac {x}{a}}=x',\qquad {\frac {1}{a}}=dx',$

$\mathrm {K} =2\int _{0}^{1}dx'\varphi (x'),\ \ \mathrm {K} ''=\int _{0}^{1}x'^{2}dx'\varphi (x'),\ \ \mathrm {K} ^{\text{ıv}}=\int _{0}^{1}x'^{4}dx'\varphi (x'),\ldots ,$

on a

${\begin{aligned}2\int _{0}^{a}&\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos(mx\varpi +nx\varpi ')\\&=a\mathrm {K} \left[1-{\frac {\mathrm {K} ''a^{2}}{\mathrm {K} }}(m\varpi +n\varpi ')^{2}+{\frac {\mathrm {K} ^{\text{ıv}}}{12\mathrm {K} }}a^{4}(m\varpi +n\varpi ')^{4}+\ldots \right]\,;\end{aligned}}$

$a\mathrm {K}$ ou $2a\int _{0}^{1}dx'\varphi (x')$ exprime la probabilité que l’erreur de chaque observation sera comprise dans ses limites, ce qui est certain ; on a donc $\alpha \mathrm {K} =1.$ En prenant donc le logarithme du second membre de l’équation précédente, on aura

$-\mathrm {\frac {K''}{K}} a^{2}(m\varpi +n\varpi ')^{2}+\mathrm {\frac {KK^{\text{ıv}}-6K''^{2}}{12K^{2}}} a^{4}(m\varpi +n\varpi ')^{4}-\ldots .$

De là il est facile de conclure que le logarithme du produit des facteurs

$2\int _{0}^{a}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos(mx\varpi +nx\varpi '),\ \ 2\int _{0}^{a}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos(m^{(1)}x\varpi +n^{(1)}x\varpi '),\ldots$