verai dans un Ouvrage que je vais bientôt publier sur les probabilités, que la somme des carrés des erreurs d’un grand nombre
d’observations peut être supposée à très peu près égala à
or on a cette somme en substituant, dans chaque équation de condition, les corrections des éléments, déterminées par la méthode des moindres carrés des erreurs des observations ; car, si l’on nomme
ce qui reste après ces substitutions dans l’équation de condition
ième, cette somme sera à très peu près
en l’égalant donc à
on aura
![{\displaystyle a{\sqrt {\mathrm {\frac {K''}{K}} }}={\sqrt {\frac {\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}}{2s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/309a59db8113541b037ee61cebfa724a4cbecc4f)
Pour un seul élément, l’erreur moyenne devient donc ainsi
![{\displaystyle (a)\qquad \qquad \qquad \qquad {\sqrt {\frac {\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}}{2s\pi }}}\,{\frac {1}{\sqrt {Sp^{(i)2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0bcd242b93c9f4eccd8f6552198657abcf7e9b)
De là résulte cette règle générale pour avoir l’erreur moyenne à craindre, quel que soit le nombre des éléments. Représentons généralement les équations de condition par la suivante
![{\displaystyle \varepsilon ^{(i)}=p^{(i)}z+q^{(i)}z'+r^{(i)}z''+t^{(i)}z'''+\ldots -\alpha ^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61215bd9f2c9bc16dd67414c98764661b6a153ea)
étant les corrections de ces éléments.
Lorsqu’il y à deux éléments, on aura l’erreur moyenne à craindre sur le premier élément, en changeant dans la fonction
![{\displaystyle \mathrm {S} p^{(i)2}\quad {\text{dans}}\quad \mathrm {S} p^{(i)2}-{\frac {\left(\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}\right)^{2}}{\mathrm {S} q^{(i)2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f74fca59cc3dbca14683104d1be0e9da22888e5)
On aura ainsi une expression que nous désignerons par ![{\displaystyle (a').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad046adadc85ea149468e54959ba4b9cdeb9a4d)
Lorsqu’il y aura trois éléments, on aura l’erreur à craindre sur le premier élément, en changeant dans l’expression
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {S} p^{(i)2}\quad {\text{dans}}\quad \mathrm {S} p^{(i)2}-{\frac {\left(\mathrm {S} p^{(i)}r^{(i)}\right)^{2}}{\mathrm {S} r^{(i)2}}},\\&\mathrm {S} q^{(i)2}\quad {\text{dans}}\quad \mathrm {S} q^{(i)2}-{\frac {\left(\mathrm {S} q^{(i)}r^{(i)}\right)^{2}}{\mathrm {S} r^{(i)2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2de91f891d1189f803aee7bdce559980f977274)