devient ainsi
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {4\pi }{3r}}\int \rho da^{3}+4\alpha \pi \int \rho d\left({\frac {a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5r^{3}}}+{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7r^{4}}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3bb5c9c29c398c4333312e283a68925005820ba)
étant le rapport de la demi-circonférence au rayon : les différentielles et les intégrales étant relatives à la variable
celles-ci étant prises depuis
nul jusqu’à sa valeur à la surface du sphéroïde, valeur que je prendrai pour l’unité.
Concevons maintenant la mer en équilibre sur ce sphéroïde doué d’un mouvement de rotation. Soit
le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur, et désignons par
la somme de toutes les molécules de la mer, divisées par leurs distances respectives au point attiré. Si l’on suppose ce point à la surface de la mer, on aura, par le no 23 du troisième Livre de la Mécanique céleste, pour l’équation de l’équilibre,
![{\displaystyle (1)\left\{{\begin{aligned}\mathrm {const} .={\frac {4\pi }{3r}}\int \rho da^{3}&+4\alpha \pi \int \rho d\left({\frac {a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5r^{3}}}+{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7r^{4}}}+\ldots \right)\\&+\mathrm {V} '-{\frac {4}{3}}\pi \int \rho da^{3}{\frac {\alpha \varphi r^{2}}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80fdb4920de5624e83b4e559df4e5f68afed97c5)
Pour déterminer
je supposerai que le rayon mené de l’origine des rayons terrestres à la surface de la mer soit
étant la valeur de
à la surface du sphéroïde :
sera, à très peu près, la profondeur de la mer. Je supposerai ensuite
![{\displaystyle y'=\mathrm {Y'^{(0)}+Y'^{(1)}+Y'^{(2)}+Y'^{(3)}} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a45cc7d491d84a644cec009b9a24269ad8de1762)
étant une fonction rationnelle et entière de
assujettie à la même équation aux différences partielles que
On peut considérer la mer comme égalant un sphéroïde dont le rayon est
moins un second sphéroïde dont le rayon est
plus la partie de ce second sphéroïde qui se relève au-dessus du premier et où, par conséquent,
est négatif. La somme des molécules du premier sphéroïde divisées par leurs distances au point attiré est, par ce qui précède, en prenant pour