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En différentiant, on aura

${\frac {d^{2}\rho '}{da^{2}}}+a^{2}\rho '=0.$

L’intégrale de cette équation est

$\rho '=\mathrm {A} \sin an+\mathrm {B} \cos an,$

$A$ et $\mathrm {B}$ étant deux constantes arbitraires ; on aura donc

$\rho ={\frac {\mathrm {A} }{a}}\sin an+{\frac {\mathrm {B} }{a}}\cos an.$

La densité n’étant point infinie au centre où $a$ est nul, on a

$\mathrm {B} =0,$

par conséquent

$\rho ={\frac {\mathrm {A} }{a}}\sin an.$

Telle est donc la loi de densité des couches du sphéroïde terrestre relative à la loi supposée entre la pression et la densité. À la surface de la Terre, où nous supposerons $a=1,$ on a

$\rho =\mathrm {A} \sin n,$

${\frac {d\rho }{da}}=-\mathrm {A} \sin n\left(1-{\frac {n}{\operatorname {tang} n}}\right).$

En faisant donc à cette surface

${\frac {-{\cfrac {dp}{da}}}{\rho }}=q,$

on aura

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad q=1-{\frac {n}{\operatorname {tang} n}}.$

Si l’on nomme $\mathrm {D}$ la moyenne densité de la Terre, on aura

$\int \rho a^{2}da=\mathrm {D} \int a^{2}da={\frac {1}{3}}\mathrm {D} .$

Or l’équation

${\frac {d\rho }{da}}={\frac {-n^{2}}{a^{2}}}\int \rho a^{2}da$