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On trouve ainsi

${\begin{aligned}\zeta \ \ =&-8{,}9446,\\\zeta '\ =&44{,}114,\\\zeta ''=&356{,}828.\end{aligned}}$

L’expression $\zeta t^{2}+\zeta 't+\zeta ''$ ou $\zeta ''-{\frac {\zeta '^{2}}{4\zeta }}+\zeta \left(t+{\frac {\zeta '}{2\zeta }}\right)^{2}$ des valeurs de $f,f',\ldots ,$ devient ainsi

$411^{\mathrm {m} }{,}220-8^{\mathrm {m} }{,}9446(t-2{,}46596)^{2}.$

Exprimons par $t'$ la distance d’une haute marée du soir à l’instant de la syzygie, $t'$ étant supposé positif pour les marées qui suivent la syzygie, et représentons par $\alpha -{\text{ϐ}}t'^{2}$ cette haute marée. La basse marée qui la précède sera, d’après la loi de la pesanteur universelle,

$-\alpha +{\text{ϐ}}\left(t'-{\frac {1}{4}}\right)^{2}\,;$

l’excès de la haute mer sur la basse mer sera donc

$2\alpha -{\frac {\text{ϐ}}{32}}-2{\text{ϐ}}\left(t'-{\frac {1}{8}}\right)^{2}.$

Ainsi, en désignant par $i$ le nombre des syzygies employées pour former les valeurs de $f,f',\ldots ,$ l’expression générale de ces valeurs sera

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad 2i\alpha -{\frac {i{\text{ϐ}}}{32}}-2i{\text{ϐ}}\left(t'-{\frac {1}{8}}\right)^{2}.$

Désignons par $k$ la valeur moyenne des quantités dont les syzygies ont précédé, dans les observations précédentes, les instants des hautes marées du soir des jours mêmes des syzygies, on aura

$t'=t-1+k.$

On a vu, dans le quatrième Livre de la Mécanique céleste, qu’il faut diminuer $t',$ d’une quantité constante que nous nommerons $u\,;$ la formule $(a)$ devient ainsi

$2\alpha i-{\frac {2i{\text{ϐ}}}{64}}-2i{\text{ϐ}}\left(t-{\frac {9}{8}}+k-u\right)^{2}.$