Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 12.djvu/496

Si l’on nomme $f,f',f'',f^{\text{ıv}},f^{\text{v}},$ les sommes des hauteurs relatives à chacun des six jours, et que l’on représente la loi de ces sommes par

$\zeta t^{2}+\zeta 't+\zeta '',$

$t$ étant le temps écoulé depuis la haute marée du soir du jour qui précède la syzygie, l’intervalle de deux marées consécutives du soir étant pris pour unité, on aura les six équations de condition suivantes :

${\begin{aligned}\zeta ''=&f,\\\zeta +\ \ \zeta '+\zeta ''=&f',\\4\zeta +2\zeta '+\zeta ''=&f'',\\9\zeta +3\zeta '+\zeta ''=&f''',\\16\zeta +4\zeta '+\zeta ''=&f^{\text{ıv}},\\25\zeta +5\zeta '+\zeta ''=&f^{\text{v}}.\end{aligned}}$

Si l’on multiplie chacune de ces équations respectivement par le coefficient de $\zeta ,$ et que l’on fasse la somme de ces produits ; si l’on fait des sommes semblables relativement aux coefficients de $\zeta '$ et de $\zeta '',$ ces trois sommes formeront les équations suivantes :

${\begin{aligned}979\zeta +225\zeta '+55\zeta ''=&\qquad f'+4f''+9f'''+16f^{\text{ıv}}+25f^{\text{v}},\\225\zeta +\ \ 55\zeta '+15\zeta ''=&\qquad f'+2f''+3f'''+\ \ 4f^{\text{ıv}}+\ \ 5f^{\text{v}},\\55\zeta +\ \ 15\zeta '+\ \ 6\zeta ''=&f+\ f'+\ \ f''+\ \ f'''+\quad f^{\text{ıv}}+\quad f^{\text{v}}.\end{aligned}}$

Ces équations donnent

${\begin{aligned}\zeta \ \,=&{\frac {10(f+f^{\text{v}}-f''-f''')+2(f''+f'''-f'-f^{\text{ıv}})}{112}},\\\zeta '\ =&{\frac {5(f^{\text{v}}-f)+3(f^{\text{ıv}}-f')+f'''-f''}{35}}-5\zeta ,\\\zeta ''=&{\frac {f+f'+f''+f'''+f^{\text{ıv}}+f^{\text{v}}}{6}}-{\frac {5}{2}}\zeta '-{\frac {55}{6}}\zeta .\end{aligned}}$

Maintenant on a, le mètre étant pris pour unité,

${\begin{alignedat}{2}f\ \ =&356{,}977,\qquad &f'\ =&391{,}815,\\f''\,=&409{,}570,&f'''=&407{,}385,\\f^{\text{ıv}}=&391{,}838,&f^{\text{v}}\ =&353{,}138.\end{alignedat}}$