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multipliée par $du'$ et intégrée depuis $u'=-\infty$ jusqu’à $u'$ infini ; en désignant donc par $\varepsilon$ la somme des carrés $(b-a)^{2},\left(b-a^{(1)}\right)^{2},\ldots ,$ cette probabilité sera proportionnelle à

$k^{\frac {n-1}{2}}e^{-k\varepsilon }.$

La valeur de $k$ qu’il faut choisir n’est pas, comme plusieurs géomètres le pensent, celle qui rend la fonction précédente un maximum : elle est, comme je l’ai fait voir dans le n^o 23 de ma Théorie analytique des probabilités, la moyenne des produits de chaque valeur de $k$ par sa probabilité ; cette valeur est donc

${\frac {\int k^{\frac {n+1}{2}}e^{-k\varepsilon }dk}{\int k^{\frac {n-1}{2}}e^{-k\varepsilon }dk}},$

les intégrales étant prises depuis $k=0$ jusqu’à $k$ infini. L’intégrale du numérateur est

$-{\frac {k^{\frac {n+1}{2}}e^{-k\varepsilon }}{\varepsilon }}+{\frac {n+1}{2\varepsilon }}\int k^{\frac {n-1}{2}}dke^{-k\varepsilon },$

et elle se réduit à son second terme. La valeur de $k$ qu’il faut choisir est donc ${\frac {n+1}{2\varepsilon }}\,;$ ainsi la probabilité de $u'$ étant, par ce qui précède, proportionnelle à $e^{-knu'^{2}},$ elle sera proportionnelle à

$e^{-{\frac {n(n+1)}{2\varepsilon }}u'^{2}},$

et par conséquent elle sera

${\frac {du'{\sqrt {\cfrac {n(n+1)}{2\varepsilon }}}e^{-{\frac {n(n+1)}{2\varepsilon }}u'^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.$

En prenant l’intégrale du numérateur dans des limites données, on aura la probabilité que la valeur de $a'$ sera comprise dans ces limites. Dans le cas présent, on a

$n=8\quad {\text{et}}\quad \varepsilon =1{,}6672.$