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éprouve, est périodique comme les forces qui l’animent. Ce principe, combiné avec celui de la coexistence des oscillations très petites, explique, d’une manière singulièrement heureuse, tous les phénomènes des marées, indépendants des circonstances locales. Les forces productrices de ces phénomènes, relatives à l’action d’un astre $\mathrm {L} ,$ sont, comme on le voit dans le n^o 16 du Livre IV de la Mécanique céleste, exprimées par les différences partielles de la fonction

$(a)\qquad \qquad {\frac {3\mathrm {L} }{2r^{3}}}\left[\sin v\cos \theta +\cos v\sin \theta \cos(nt+\omega -\psi )\right]^{2},$

en désignant par $\mathrm {L}$ la masse de l’astre, par $r$ sa distance au centre de la Terre, par $v$ sa déclinaison, par $\psi$ son ascension droite comptée de l’intersection de son orbite avec l’équateur, et par $\varphi$ sa distance angulaire à cette intersection : $nt+\omega$ est l’angle horaire de cette intersection et $\theta$ est le complément de la latitude du port. Soit $\varepsilon$ l’inclinaison de l’orbite à l’équateur ; on aura, par les formules de la Trigonométrie sphérique,

${\begin{aligned}\sin v=&\sin \varepsilon \sin \varphi ,\\\cos v\sin \psi =&\cos \varepsilon \sin \varphi ,\\\cos v\cos \psi =&\cos \varphi ,\\\cos ^{2}v=&{\frac {1}{2}}\left(1+\cos ^{2}\varepsilon \right)+{\frac {1}{2}}\sin \varepsilon \cos 2\varphi ,\\\cos ^{2}v\sin 2\psi =&\cos \varepsilon \sin 2\varphi ,\\\cos ^{2}v\cos 2\psi =&{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\varepsilon +{\frac {1}{2}}\left(1+\cos ^{2}\varepsilon \right)\cos 2\varphi .\end{aligned}}$

La formule (a) devient ainsi

${\frac {3\mathrm {L} }{2r^{3}}}\left[{\frac {1}{2}}\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\varepsilon +{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\theta \left(1+\cos ^{2}\varepsilon \right)-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\varepsilon \left(\cos ^{2}\theta -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta \right)\cos 2\varphi \right]$

${\begin{alignedat}{2}+{\frac {3\mathrm {L} }{2r^{3}}}\sin \theta \cos \theta &\left[{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\sin \varepsilon \cos \varepsilon \sin(nt+\omega )\right.\\&-{\frac {1}{2}}\sin \varepsilon (1+\cos \varepsilon )\sin(nt+\omega -2\varphi )\\&+\left.{\frac {1}{2}}\sin \varepsilon (1-\cos \varepsilon )\sin(nt+\omega +2\varphi )\right]\\+{\frac {3\mathrm {L} }{4r^{3}}}\sin ^{2}\theta \quad \ \ &\left[\ \cos ^{4}{\frac {\varepsilon }{2}}\cos(2nt+2\omega -2\varphi )\right.\\&\left.+\sin ^{4}{\frac {\varepsilon }{2}}\cos(2nt+2\omega +2\varphi )+{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\varepsilon \cos(2nt+2\omega )\right].\end{alignedat}}$