et lunaire à l’instant de la syzygie, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\mathrm {A} &{\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}\cos ^{4}{\frac {\varepsilon }{2}}+\mathrm {B} {\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon \cos 2mt'\\&=2q\mathrm {A} {\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}+(\mathrm {A-B} ){\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon \cos 2mt'',\\2\mathrm {A} '&{\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}\cos ^{4}{\frac {\varepsilon '}{2}}+\mathrm {B} {\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon '\cos(2m't'-2\delta )\\&=2q'\mathrm {A} '{\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}-(\mathrm {A'-B} ){\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon '\cos(2m't''-2\delta ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76d02e2fe795e90733dbc316fb347f56480b434)
On peut supposer que, dans l’ensemble des syzygies considérées ci-dessus, la somme des cosinus de
\varepsilonst égale à la somme des cosinus de
et que la somme des cosinus de
égale la somme des cosinus de
parce que ces angles diffèrent peu de l’unité, et parce que leurs cosinus sont multipliés dans les expressions précédentes par les très petits facteurs
![{\displaystyle (\mathrm {A-B} )\sin ^{2}\varepsilon \quad {\text{et}}\quad (\mathrm {A'-B} )\sin ^{2}\varepsilon '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2315c58f1139394bbc05bb0a4464d853d6bf480)
En supposant donc que
et
expriment les sommes des carrés des cosinus des déclinaisons du Soleil aux instants des syzygies équinoxiales et solsticiales, et que
et
expriment les mêmes sommes pour la Lune, la somme des quantités
sera
et la somme des quantités
sera ![{\displaystyle p'-q'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf73d0e7b07b4be72e1dec66dc887986f966f64a)
On aura donc, dans les syzygies équinoxiales,
![{\displaystyle 2i\alpha =2\mathrm {A} {\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}p+2\mathrm {A} '{\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}p'-(\mathrm {A-B} )(p-q){\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}-(\mathrm {A'-B} )(p'-q'){\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf8e8a80762dcb628ed7af6746dda5b8c4445cd)
et, dans les syzygies solsticiales,
![{\displaystyle 2i\alpha '=2\mathrm {A} {\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}q+2\mathrm {A} '{\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}q'+(\mathrm {A-B} ){\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}(p-q)+(\mathrm {A'-B} ){\frac {\mathrm {L} '}{r'^{3}}}(p'-q'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/851bbd850ebb2291af050a8c9220dc61d4f7d97f)
étant la valeur de
relative aux syzygies solsticiales.
Dans les quadratures, la haute marée lunaire coïncide avec la basse marée solaire, ce qui revient à supposer
négatif dans les expressions précédentes. De là il suit que, si l’on désigne par
et
les