c’est-à-dire que le coefficient d’une puissance quelconque
dans le développement de cette fonction est positif et plus grand, abstraction faite du signe, que le coefficient de la même puissance dans le développement de
Donnons à la fonction
cette forme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} ^{2}}{1-e^{2}}}+{\frac {4\mathrm {A} (1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)\left(1-e^{2}\right)}}+{\frac {2(1-2\omega )^{2}q^{2i}e^{2i}}{\pi (1-qe)^{2}\left(1-e^{2}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756a1286a0d56f6a378141544793a7d704c78f7b)
Le terme
développé en série donne une série convergente ; car quelque grand que l’on suppose
pourvu qu’il soit fini,
sera composé d’un nombre fini de termes. En désignant par
l’un de ces termes,
développé en série, donnera une série convergente,
étant supposé moindre que l’unité. Ainsi,
donnera un nombre fini de séries convergentes, et, dans leur somme, le terme dépendant de
deviendra nul lorsque
est infini.
Le terme
![{\displaystyle {\frac {4\mathrm {A} (1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)\left(1-e^{2}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/792dbbb708587f962b8248df73e80a726c02b73a)
donnera un nombre fini de termes de la forme
![{\displaystyle {\frac {ne^{i}}{(1-qe)\left(1-e^{2}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3769d6ee266e6008cd4440f0a02fe92b2461a433)
or la fraction
![{\displaystyle {\frac {1}{(1-qe)\left(1-e^{2}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81294b6ca4392656f010b03997a6f7e88869b16)
se décompose dans les trois suivantes :
![{\displaystyle {\frac {1}{2(1-q)}}{\frac {1}{1-e}}+{\frac {1}{2(1+q)}}{\frac {1}{1+e}}-{\frac {q^{2}}{1-q^{2}}}{\frac {1}{1-qe}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c8e5343cca4de21fc91e9bc0d2d8a6bbc73d169)
Chacune d’elles, développée en série, donne une série convergente ; car, par la supposition,
est moindre que l’unité. On voit donc que le terme
![{\displaystyle {\frac {4\mathrm {A} (1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)\left(1-e^{2}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/792dbbb708587f962b8248df73e80a726c02b73a)