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donne une série convergente ; pareillement le terme

${\frac {2(1-2\omega )^{2}q^{2i}e^{2i}}{\pi (1-qe)^{2}\left(1-e^{2}\right)}}$

donne une série convergente, comme il est facile de le voir, en décomposant la fraction

${\frac {1}{(1-qe)^{2}\left(1-e^{2}\right)}}$

en fractions partielles ; ${\frac {dv}{dt}},$ développé en série ordonnée par rapport aux puissances de l’excentricité, donne par conséquent une série convergente, lorsque ge est moindre que l’unité. Il est facile d’en conclure que l’expression de $v-t$ ainsi développée forme une série convergente ; car, l’intégration de $dv$ faisant acquérir des diviseurs à ses termes, on voit que, quel que soit $t,$ $v-t$ sera moindre que

${\frac {\left[\mathrm {A} +{\cfrac {2(1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)}}\right]^{2}}{1-e^{2}}},$

qui, comme on vient de le voir, forme une série convergente.

Il résulte de ce qui précède que la condition nécessaire pour la convergence des séries qui expriment le rayon vecteur et l’anomalie vraie, développés suivant les puissances de l’excentricité, est que l’excentricité soit moindre que

${\frac {2{\sqrt {\omega (1-\omega )}}}{1-2\omega }},$

$\omega$ étant donné par l’équation

${\frac {1-\omega }{\omega }}=c^{\frac {2}{1-2\omega }}.$

Les deux séries sont alors convergentes ; c’est ce qui a lieu pour toutes les planètes, même pour les planètes télescopiques. Les valeurs supérieures de l’excentricité font diverger la série du rayon vecteur, et alors il faut recourir à d’autres développements. Tel est le cas de la comète à courte période.