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Par les conditions de la méthode la plus avantageuse, on a

$\mathrm {S} \lambda ^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0,$

l’équation précédente donnera donc

$z^{\text{v}}=-z^{\text{ıv}}{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}v^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)^{2}}}}-z'''{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}t^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)^{2}}}}-\ldots +{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}\omega ^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)^{2}}}}.$

En substituant cette valeur de $z^{\text{v}}$ dans l’équation (2), on aura celle-ci

(3)

$\left\{{\begin{aligned}\varepsilon ^{(i)}=&\quad z^{\text{ıv}}\left(v^{(i)}-\lambda ^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}v^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)^{2}}}}\right)\\&+z'''\left(t^{(i)}-\lambda ^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}t^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)^{2}}}}\right)+\ldots -\omega ^{(i)}+\lambda ^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}\omega ^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)^{2}}}}.\end{aligned}}\right.$

On a ainsi, en faisant successivement $i=0,\ i=1,\ldots ,\ i=s-1,$ un nouveau système d’équations de condition, qui ne renferme plus que cinq éléments, $z^{\text{ıv}},z''',\ldots .$

Faisons, pour abréger,

${\begin{aligned}v_{1}^{(i)}=&v^{(i)}-\lambda ^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}v^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)^{2}}}},\\t_{1}^{(i)}=&t^{(i)}-\lambda ^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}t^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)^{2}}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\omega _{1}^{(i)}=&\omega ^{(i)}-\lambda ^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \lambda ^{(i)}\omega ^{(i)}}{\mathrm {S} \lambda ^{(i)^{2}}}},\end{aligned}}$

l’équation (3) deviendra

(4)

$\varepsilon ^{(i)}=v_{1}^{(i)}z^{\text{ıv}}+t_{1}^{(i)}z'''+r_{1}^{(i)}z''+q_{1}^{(i)}z'+p_{1}^{(i)}z-\omega _{1}^{(i)}.$

En multipliant cette équation par $v_{1}^{(i)},$ et réunissant les produits semblables, relatifs à toutes les équations que celle-ci représente, en observant ensuite que l’on a $\mathrm {S} v_{1}^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0,$ en vertu des deux équations $\mathrm {S} \lambda ^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0,\$$\mathrm {S} v^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0,$ que donnent les conditions de la méthode la plus avantageuse, on aura

$0=z^{\text{ıv}}\mathrm {S} v_{1}^{(i)^{2}}+z'''\mathrm {S} v_{1}^{(i)}t_{1}^{(i)}+\ldots .$

Si l’on tire de cette équation la valeur de $z^{\text{ıv}},$ on aura, en la substi-