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On formera de la même manière les quatre équations suivantes :

(C)

$\left\{{\begin{aligned}{\overline {t_{2}\omega _{2}}}=&t_{2}^{(2)}\ \,z'''+{\overline {t_{2}r_{2}}}\,z''+{\overline {t_{2}q_{2}}}\,z'+{\overline {t_{2}p_{2}}}z,\\{\overline {r_{2}\omega _{2}}}=&{\overline {r_{2}t_{2}}}z'''+r_{2}^{(2)}\ \,z''+{\overline {r_{2}q_{2}}}z'+{\overline {r_{2}p_{2}}}z,\\{\overline {q_{2}\omega _{2}}}=&{\overline {q_{2}t_{2}}}z'''+{\overline {q_{2}r_{2}}}z''+q_{2}^{(2)}\ \,z'+{\overline {q_{2}p_{2}}}z,\\{\overline {p_{2}\omega _{2}}}=&{\overline {p_{2}t_{2}}}z'''+{\overline {p_{2}r_{2}}}z''+{\overline {p_{2}q_{2}}}z'+p_{2}^{(2)}\ \,z.\end{aligned}}\right.$

où l’on a

$t_{2}^{(2)}=t_{1}^{(2)}-{\frac {\overline {v_{1}t_{1}}}{v_{1}^{2}}},\qquad {\overline {t_{2}r_{2}}}={\overline {t_{1}r_{1}}}-{\frac {{\overline {v_{1}t_{1}}}\,{\overline {v_{1}r_{1}}}}{v_{1}^{2}}},$

${\overline {t_{2}\omega _{2}}}={\overline {t_{1}\omega _{1}}}-{\frac {{\overline {v_{1}t_{1}}}\,{\overline {v_{1}\omega _{1}}}}{v_{1}^{(2)}}},\qquad \ldots$

Comme on n’a plus ici que quatre éléments, on peut appliquer à ces équations les formules du n^o I, mais on peut continuer d’éliminer et former ainsi la valeur de $p_{5}^{(2)}.$

2. Pour appliquer cette méthode à un exemple, je prends les six équations suivantes :

${\begin{alignedat}{7}129z^{\text{v}}&+&46{,}310z^{\text{ıv}}&+&1{,}1128z'''&+&1{,}337z''&+&5722z'&+&2602z\\&&&&&&&&&=&-1002{,}900,\\46{,}310z^{\text{v}}&+&21{,}543z^{\text{ıv}}&+&3{,}6213z'''&+&1{,}2484z''&-&5469z'&+&696{,}13z\\&&&&&&&&&=&-343{,}455,\\1{,}1128z^{\text{v}}&+&3{,}62135z^{\text{ıv}}&+&57{,}1911z'''&-&3{,}2252z''&-&39749{,}1z'&-&1959{,}0z\\&&&&&&&&&=&-40{,}335,\\1{,}3371z^{\text{v}}&+&1{,}2484z^{\text{ıv}}&-&3{,}2252z'''&+&71{,}8720z''&-&153106{,}5z'&+&6788{,}2z\\&&&&&&&&&=&237{,}782,\\5722z^{\text{v}}&-&5459z^{\text{ıv}}&-&39749{,}1z'''&-&153106{,}5z''&+&424865729z'&-&12729398z\\&&&&&&&&&=&-738297{,}8,\\2602z^{\text{v}}&+&696{,}13z^{\text{ıv}}&-&1959{,}0z'''&+&6788{,}2z''&-&12729398z'&+&795938z\\&&&&&&&&&=&7212{,}6.\end{alignedat}}$

Ces équations sont celles auxquelles M. Bouvard est parvenu par $129$ tant oppositions que quadratures de Saturne, et dont il a conclu les corrections des éléments du mouvement de cette planète, $z^{\text{v}}$ est la correction de la longitude moyenne, en 1750 ; $z^{\text{ıv}}$ est la correction séculaire du moyen mouvement ; $z'''$ est la correction de l’équation du centre ; $z''$ est le produit de l’équation du centre par la correction du périhélie ; $z'$ est la masse de Jupiter et $z$ est celle d’Uranus. La seconde décimale est l’unité.