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en égalant à zéro le coefficient de $\delta \varphi ',$ on aura

(2)

$0=\mathrm {ML} \left[(a-r){\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}+g\varphi '+{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}\right]+{\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}\mathrm {S} 'z^{2}d\mathrm {M} \,;$

enfin on égalant à zéro le coefficient de $\delta \psi ^{(i)},$ on aura

${\begin{aligned}0=&(a-r)\rho (h-s){\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+\int \rho ds{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+g\rho (h-s)\psi ^{(i)}\\&+\mathrm {M} \left[(a-r){\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+\mathrm {L} {\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}+g\psi ^{(i)}\right].\end{aligned}}$

La masse $\mathrm {M}$ étant beaucoup plus grande que celle du fil, nous désignerons par $\alpha$ le rapport de celle-ci à la première. En négligeant les termes de l’ordre $\alpha ,$ cette dernière équation donnera, pour $\psi ^{(i)},$ une valeur indépendante de $i$ \alpha qui sera par conséquent la même pour toutes les valeurs de $i\,;$ elle sera évidemment égale à très peu près à ${\frac {x'}{h}},$ c’est-à-dire que le fil, par la tension du poids $\mathrm {M} ,$ forme à très peu près une ligne droite, ce que l’on voit d’ailleurs a priori. En substituant donc ${\frac {x'}{h}}$ pour $\psi ^{(i)}$ dans les termes de cette équation dépendants de la masse du fil, et en y faisant $x={\frac {sx'}{h}},$ cette équation donnera aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{2}\,:$

${\begin{aligned}0=&(a-r)\rho (h-s){\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {\rho }{2h}}\left(h^{2}-s^{2}\right){\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+g\rho {\frac {(h-s)}{h}}x'\\&+\mathrm {M} \left[(a-r){\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+\mathrm {L} {\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}+g\psi ^{(i)}\right].\end{aligned}}$

On aura la somme de toutes les équations semblables que fournit l’infinité des valeurs de $i,$ en multipliant l’équation précédente par $ds$ et en l’intégrant depuis $s=0$ jusqu’à $s=h,$ ce qui donne, en observant que $x'$ est égal à la somme de toutes les valeurs de $\psi ^{(i)}ds,$

(3)

$\left\{{\begin{aligned}0=&(a-r)h{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\left(\mathrm {M} +{\frac {1}{2}}m'\right)\\&+h{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}\left(\mathrm {M} +{\frac {1}{2}}m'\right)+\mathrm {ML} h{\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}+gx'\left(\mathrm {M} +{\frac {1}{2}}m'\right).\end{aligned}}\right.$

Cette équation, réunie aux équations (1) et (2), déterminera les