valeurs de
et
en observant de mettre dans l’équation (1)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}m'(a-r){\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2afc152204655006fd86535685992c84989b52)
au lieu de
![{\displaystyle (a-r)\mathrm {S} \rho ds{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa05fd22c07d0065629fbce3f3c7a56e38f133)
4. Pour intégrer les équations (1), (2) et (3), je suppose
![{\displaystyle \varphi =\mathrm {K} \cos(nt+\varepsilon ),\qquad \varphi '=\mathrm {K} '\cos(nt+\varepsilon ),\qquad x'=\mathrm {K} ''h\cos(nt+\varepsilon ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ec957c911336e3df1e5f0d8a3d6e7ffd7e9347)
En substituant ces valeurs dans ces équations, en faisant
![{\displaystyle \mathrm {S} 'z^{2}d\mathrm {M} =\mathrm {ML} q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a80c218d5811279d2226d44169c4d30a7bb7f8)
et
![{\displaystyle \mathrm {A} =gml-n^{2}\left(\int z^{2}dm-2mlr\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9291942963548b3e1e577b59a59093fd93c22e0e)
on aura les trois équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\mathrm {K} \left\{\mathrm {A} +(\mathrm {M} +m')\left[ag-n^{2}(a-r)^{2}\right]\right\}\\&-\mathrm {K'ML} (a-r)n^{2}-\mathrm {K} ''\left(\mathrm {M} +{\frac {1}{2}}m'\right)(a-r)hn^{2}\\0=&\mathrm {K} (a-r)n^{2}-\mathrm {K} '\left(g-n^{2}q\right)+\mathrm {K} ''hn^{2}\\0=&\mathrm {K} \left(\mathrm {M} +{\frac {1}{2}}m'\right)(a-r)n^{2}+\mathrm {K'ML} n^{2}\\&-\mathrm {K} ''\left[\left(\mathrm {M} +{\frac {1}{2}}m'\right)g-\left(\mathrm {M} +{\frac {1}{3}}m'\right)hn^{2}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6c81de2b7ef8e4ebf0f8333d04aecc90396df7f)
Si l’on ajoute la première de ces équations à la seconde multipliée par
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\mathrm {K} \left[\mathrm {A} +(\mathrm {M} +m')ag-{\frac {1}{2}}m'(a-r)^{2}n^{2}\right]\\&-\mathrm {K} '\left[\mathrm {ML} (a-r)n^{2}+\left(\mathrm {M} +{\frac {1}{2}}m'\right)(a-r)\left(g-n^{2}q\right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daceb929a6daf10057ae0d0d7c866c5d91f748a0)
Si l’on ajoute la seconde équation multipliée par
![{\displaystyle \left(\mathrm {M} +{\frac {1}{2}}m'\right)g-\left(\mathrm {M} +{\frac {1}{3}}m'\right)hn^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8e51f11b3ce2b7f2ab8593737293026c00872c3)
à la troisième multipliée par
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\mathrm {K} \left[{\frac {1}{6}}m'(a-r)hn^{4}+\left(\mathrm {M} +{\frac {1}{2}}m'\right)g(a-r)n^{2}\right]\\&-\mathrm {K} '\left[\left(\mathrm {M} +{\frac {1}{2}}m'\right)g\left(g-n^{2}q\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.-\left(\mathrm {M} +{\frac {1}{3}}m'\right)hn^{2}\left(g-n^{2}q\right)-\mathrm {ML} hn^{4}\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18bdbf650245df7794f62a70070ae21d77211171)