Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 13.djvu/164

la Terre. Concevons par cette origine un axe quelconque et faisons passer un plan fixe par cet axe, menons ensuite par le même axe un plan qui passe par un point quelconque de la couche du sphéroïde et nommons $\omega$ l’angle formé par ces deux plans. Enfin, nommons $\theta$ l’angle que le rayon $a(1+\alpha y)$ de la couche forme avec l’axe et faisons $\cos \theta =\mu .$ Cela posé, les trois coordonnées rectangulaires du point seront

$a(1+\alpha y)\mu ,\qquad a(1+\alpha y){\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \omega ,$

$a(1+\alpha y){\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \omega \,;$

y pourra être considéré comme fonction de $a$ et de $\mu$

${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \omega ,\qquad {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \omega .$

Supposons cette fonction réduite dans une série de la forme

$y^{(1)}+y^{(2)}+y^{(3)}+y^{(4)}+\ldots ,$

$y^{(1)},y^{(2)},\ldots$ étant des fonctions rationnelles et entières de $\mu ,$ de ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \omega$ et de ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \omega \,;$ la première d’une dimension ; la seconde de deux dimensions et ainsi de suite, ces fonctions étant telles que l’on ait, quel que soit $i,$

$0={\frac {d\left[\left(1-\mu ^{2}\right)\left({\cfrac {dy^{(i)}}{d\mu }}\right)\right]}{d\mu }}+{\frac {\cfrac {d^{2}y^{(i)}}{d\omega ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)y^{(i)}.$

En désignant par $\mathrm {V}$ la somme des molécules du sphéroïde, divisées par leurs distances à un point extérieur attiré, dont $r$ soit la distance à l’origine des rayons du sphéroïde, on aura par la formule (5) du n^o 14 du troisième Livre de la Mécanique céleste ^[1]

$\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {M} }{r}}+{\frac {4\alpha \pi }{r}}\int \rho d\left({\frac {a^{4}y^{(1)}}{3r}}+{\frac {a^{5}y^{(2)}}{5r^{2}}}+{\frac {a^{6}y^{(3)}}{7r^{3}}}+\ldots \right).$

$\mathrm {M}$ est la masse du sphéroïde, $\pi$ est le rapport de la circonférence au

1. Œuvres de Laplace, T. II, p. 40.