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$mathrm{M+M'}$ de la Terre,

$(m)\quad \left\{{\begin{aligned}&-(\mathrm {M+M'} )\left(y^{'(1)}+y^{'(2)}+y^{'(3)}+\ldots \right)\\&+4\pi \int (\rho -1)d\left({\frac {a^{4}y^{(1)}}{3}}+{\frac {a^{5}y^{(2)}}{5}}+{\frac {a^{6}y^{(3)}}{7}}+\ldots \right)\\&+4\pi \left({\frac {y^{'(1)}}{3}}+{\frac {y^{'(2)}}{5}}+{\frac {y^{'(3)}}{7}}+\ldots \right)\\=&(\mathrm {M+M'} ){\frac {\varphi }{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).\end{aligned}}\right.$

Maintenant, si l’on place l’origine des $\mu$ au centre de gravité d’un sphéroïde formé de couches dont le rayon soit $a(1+\alpha y)$ et dont la densité soit $\rho -1,$ on a par le n^o 31 du troisième Livre de la Mécanique céleste

$0=\int (\rho -1)d\left(a^{4}y^{(1)}\right).$

Si l’on prend ensuite pour axe des $\mu$ l’un des axes principaux du même sphéroïde, on a par le n^o 32 du même Livre

$\int (\rho -1)d\left(a^{5}y^{(2)}\right)=\mathrm {H} \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+\mathrm {H} '\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\omega ,$

$\mathrm {H}$ et $\mathrm {H} '$ étant des constantes ; on a donc, en comparant respectivement dans l’équation précédente de l’équilibre les fonctions semblables $y^{(1)},y^{(2)},\ldots$

${\begin{aligned}y^{'(1)}=&0,\\y^{'(2)}=&{\frac {{\cfrac {4\pi }{5}}\left[\mathrm {H} \left(\mu ^{2}-{\cfrac {1}{3}}\right)+\mathrm {H} '\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\omega \right]-{\cfrac {1}{2}}(\mathrm {M+M'} )\varphi \left(\mu ^{2}-{\cfrac {1}{3}}\right)}{\mathrm {M+M'} -{\cfrac {4\pi }{5}}}}\\y^{'(3)}=&{\frac {{\cfrac {4\pi }{7}}\int (\rho -1)d\left(a^{6}y^{(3)}\right)}{\mathrm {M+M'} -{\cfrac {4\pi }{7}}}},\\y^{'(4)}=&{\frac {{\cfrac {4\pi }{9}}\int (\rho -1)d\left(a^{7}y^{(4)}\right)}{\mathrm {M+M'} -{\cfrac {4\pi }{9}}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$