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d’où résulte, par l’intégration, dans l’expression de la longitude moyenne, l’inégalité

${\frac {19}{2}}{\frac {\beta }{a^{2}}}{\frac {\gamma }{g-f}}\sin(gv-fv-\theta ),$

ce qui est conforme à ce que j’ai trouvé dans le second Chapitre ^[1].

On voit par l’analyse précédente que le coefficient de l’argument $\sin(gv-fv-\theta )$ n’est divisé que par la première puissance du facteur qui multiplie $v$ dans cet argument : cela résulte encore de ce que l’on sait d’ailleurs touchant les inégalités du mouvement des corps célestes, données par une première approximation : le carré du coefficient de l’angle $v$ ne peut y être introduit comme diviseur qu’en vertu de la partie de ce coefficient qui est relative au corps perturbateur. Dans l’argument précédent, cette partie est $(f-1),$ et elle dépend de la précession des équinoxes. On trouve, en effet, par ce qui précède, qu’elle peut introduire un terme qui a pour diviseur $(g-f)^{2}.$ Mais, comme ce terme a $f-1$ pour facteur, il en résulte que, vu la petitesse de la fraction ${\frac {f-1}{g-1}},$ il peut être négligé, comme nous l’avons fait. Il suit de là que les termes dépendant des carrés de l’excentricité et de l’inclinaison de l’orbe lunaire n’introduiraient, dans l’expression de la longitude moyenne, que des termes de l’ordre de ces carrés, ayant pour diviseur la première puissance de $g-1\,;$ ils sont donc très petits par rapport à l’inégalité que nous avons déterminée. Mais l’importance de ces inégalités lunaires dans la recherche de l’aplatissement de la Terre m’a déterminé à considérer ces termes. Pour cela, j’observerai d’abord que la valeur exacte de $\mu$ ou du sinus de la déclinaison de la Lune, considérée dans le second Chapitre, n^o 20, est

${\frac {s\cos \lambda +\sin \lambda \sin fv}{\sqrt {1+s^{2}}}}\,;$

elle rentre dans celle du numéro cité, en négligeant le cube de $s,$

1. Œuvres de Laplace, T. III, p. 272.