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dérons d’abord la seconde de ces équations. Dans le développement de ses termes, j’aurai égard aux termes dépendant des angles $3fv-2gv,$ et $3fv-2gv-cv,$ à cause des grands diviseurs qu’ils acquièrent par les intégrations. En faisant

$\mathrm {Q} ={\frac {\mathrm {H} u^{4}\sin 3fv}{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},$

on a, à très peu près,

${\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}={\frac {3\mathrm {H} u^{2}dv\cos 3fv}{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}\,;$

on a ensuite, par le n^o 4 du Livre VII,

${\begin{aligned}u=&{\frac {1}{h^{2}\left(1+\gamma ^{2}\right)}}\left({\sqrt {1+s^{2}}}+e\cos cv\right),\\s=&\gamma \sin gv\,;\end{aligned}}$

en négligeant donc les termes inutiles et ceux qui sont insensibles, on aura

${\begin{aligned}2\int {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}{\frac {dv}{h^{2}u^{2}}}={\frac {2\mathrm {H} }{h^{6}}}&\left[\sin 3fv+{\frac {15\gamma ^{2}}{8}}{\frac {\sin(3fv-2gv)}{3f-2g}}\right.\\&\qquad \qquad +\left.{\frac {9}{4}}e\gamma ^{2}{\frac {\sin(3fv-2gv-cv)}{3f-2g-c}}\right].\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\left({\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u\right)2\int {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}{\frac {dv}{h^{2}u^{2}}}={\frac {\mathrm {H} }{h^{8}}}&\left[{\frac {9}{2}}\gamma ^{2}\sin(3fv-2gv)\right.\\&\qquad +\left.{\frac {9}{2}}e\gamma ^{2}{\frac {\sin(3fv-2gv-cv)}{3f-2g-c}}\right].\end{aligned}}$

On trouve de plus

${\begin{aligned}{\frac {du}{h^{2}u^{2}dv}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}=&{\frac {-3\mathrm {H} \gamma ^{2}}{4h^{8}}}\ \ \sin(3fv-2gv),\\-{\frac {1}{h^{2}}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}-{\frac {s}{h^{2}u}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}=&{\frac {-15\mathrm {H} \gamma ^{2}}{4h^{8}}}\sin(3fv-2gv)\,;\end{aligned}}$

la seconde des équations (L) citées devient ainsi

$0={\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u+{\frac {9\mathrm {H} e\gamma ^{2}}{2h^{8}}}{\frac {\sin(3fv-2gv-cv)}{3f-2g-c}}+{\frac {3s\delta s}{h^{2}}}\,;$

$\delta s$ étant la variation de $s,$ due à la différence des deux hémisphères