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duit, par le n^o 3 du Livre VII, dans ${\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}},$ le terme

$-{\frac {3(1-m)m^{2}}{2a^{3}u^{4}}}dv\sin(2v-2mv),$

Substituant, au lieu de $u,$ sa valeur elliptique

${\frac {1}{h^{2}\left(1+\gamma ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {1+s^{2}}}+e\cos(cv-\varpi )\right],$

le développement produit le terme

${\frac {3h^{3}m^{2}s^{2}}{a^{3}}}\sin(2v-2mv).$

En substituant, dans ce dernier terme, au lieu de $s,$ sa valeur précédente, on a, dans le développement, un terme égal à

$+{\frac {3m^{2}h^{8}}{2a^{3}}}\gamma \mathrm {H\left(B_{1}^{'(0)}-B_{1}^{(0)}\right)} \sin(gv-fv-\theta ).$

On trouve, à fort peu près, par le n^o 14, Livre VII ^[1],

$\mathrm {B_{1}^{'(0)}-B_{1}^{(0)}} ={\frac {9}{64}}m^{2}\,;$

en substituant donc pour $\mathrm {H}$ sa valeur, et faisant $g^{2}-1={\frac {3}{2}}m^{2},$ on trouve qu’il en résulte dans ${\frac {1}{h^{2}}}\int {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}$ le terme

$+{\frac {3}{8}}{\frac {{\text{ϐ}}{\overline {u}}^{2}h^{4}}{a^{2}}}\gamma \cos(gv-fv-\theta )\,;$

la valeur de $\delta u$ se trouve ainsi augmentée du terme

$-{\frac {3}{4}}{\frac {{\text{ϐ}}{\overline {u}}^{2}h^{4}}{a^{3}}}\gamma \cos(gv-fv-\theta ).$

En supposant, comme on le peut, dans ces divers aceroissements, ${\overline {u}}={\frac {1}{a}}$ et $h^{2}=a,$ on aura, pour l’accroissement total de $\delta u,$

$-{\frac {3}{16}}{\frac {\text{ϐ}}{a^{3}}}\gamma \cos(gv-fv-\theta )$

1. Œuvres de Laplace, T. III, p. 239.