Lagrange fit la remarque importante que les forces perturbatrices des diverses coordonnées des mouvements planétaires sont les différences partielles d’une même fonction. En reprenant ensuite la considération de la variation des éléments arbitraires, il parvint à l’expression différentielle du grand axe donnée par l’équation (1), et il démontra ainsi, d’une manière aussi élégante que générale, l’invariabilité des distances moyennes des planètes au Soleil et de leurs moyens mouvements, résultats auxquels j’étais parvenu en portant l’approximation jusqu’aux troisièmes puissances des excentricités et des inclinaisons inclusivement. J’observerai ici que l’expression de donnée par Euler dans sa pièce couronnée en 1756, coïncide avec l’équation (1) lorsqu’on prend pour plan de projection celui de l’orbite de la planète troublée à une époque fixe ; alors la latitude de cette planète devient de l’ordre des forces perturbatrices, et en négligeant, comme on le fait ici, le carré de ces forces, il est facile de s’assurer que l’expression d’Euler revient à l’équation (1). Mais cette propriété remarquable de d’être une différence exacte de par rapport aux coordonnées de la planète troublée, se montre avec évidence lorsqu’on emploie, dans la décomposition des lorces, les différences partielles de
Il était intéressant d’exprimer, d’une manière semblable, les autres éléments du mouvement elliptique, et mes recherches sur cet objet me conduisirent au système des équations (1), (2), (3), (4), (5) et (6), que je présentai, le 17 août 1808, au Bureau des Longitudes. Dans la même séance, Lagrange lui communiqua une savante analyse par laquelle il exprimait la différence partielle de prise par rapport à chaque élément, par une fonction linéaire des différences infiniment petites des éléments, et dans laquelle les coefficients de ces différences ne sont fonctions que des éléments eux-mêmes. En déterminant au moyen de ces expressions les différences de chaque élément, il parvint ensuite aux mêmes équations que j’avais trouvées. La propriété remarquable des coefficients des différences partielles dans ces équations
