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L’inégalité dépendant de l’argument $2gt-2ct$ disparaît donc de cette expression, en portant même l’approximation jusqu’aux quantités de l’ordre $m^{3}.$ La même analyse s’étend généralement aux inégalités lunaires à longue période, dont l’argument ne dépend que des éléments du mouvement lunaire, ou n’est censé varier que par la variation de ces éléments.

En intégrant, relativement à ce genre d’inégalités, l’équation différentielle (1), on a ${\frac {1}{2a}}=\mathrm {R} \,;$ on a de plus $n^{2}a^{3}=1\,;$ ainsi ces inégalités disparaissent, comme dans $\mathrm {R} ,$ des expressions de $a$ et de $n.$

Les résultats précédents donnent lieu à une considération importante pour les calculs suivants. Le développement de $\mathrm {R}$ donne

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {H} \ =&-{\frac {3}{8}},\qquad &\mathrm {L} \ =&-{\frac {15}{8}},\\\mathrm {H} '=&\quad \ {\frac {3}{8}},&\mathrm {L} '=&-{\frac {3}{8}},\end{alignedat}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}1-c=&{\frac {3}{4}}m^{2}\left[1+{\frac {75m}{8\left(1+{\cfrac {c-1}{m}}\right)}}\right],\\g-1=&{\frac {3}{4}}m^{2}\left[1-{\frac {3m}{8\left(1+{\cfrac {g-1}{m}}\right)}}\right].\end{aligned}}$

Le terme ${\frac {75m}{8\left(1+{\cfrac {c-1}{m}}\right)}},$ quoique de l’ordre $m,$ est peu différent de l’unité ; car $1-c$ étant à fort peu près ${\frac {3}{2}}m^{2},$ et $m$ étant égal à $0{,}0748,$ ce terme est égal à $0{,}790\,;$ ce qui ne diffère de l’unité que de $0{,}21,$ ou d’un cinquième, à fort peu près. Cette valeur considérable du second terme de l’expression de $1-c,$ en série, change considérablement les diviseurs très petits dans lesquels cette expression entre, et par conséquent les inégalités à longue période que ces diviseurs rendent sensibles. Il faut donc, dans le calcul de ces inégalités, porter, comme dans celui de $1-c,$ la précision jusqu’aux termes de l’ordre $m^{3}.$ C’est ce que nous allons faire.