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de l’ordre $m^{2},$ et que les termes de l’ordre $m$ de $\delta r$ ont des arguments dont la partie variable diffère très peu de $t\,;$ en prenant pour $t$ le moyen mouvement de la Lune, ce qui donne, à fort peu près, ${\frac {d^{2}\delta 'r}{dt^{2}}}=-\delta 'r,$ on aura, en négligeant les termes de l’ordre $m^{2},$

$\delta '{\frac {r^{4}dv^{2}}{dt^{2}}}=\delta 'r\left(3r^{2}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r^{3}+\mu \right)\,;$

or, la supposition de $t$ égal au moyen mouvement de la Lune donne $\mu =1,$ et le facteur $3r^{2}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r^{3}+1$ est nul aux quantités près de l’ordre $e^{2}\,;$ on a donc

$\delta '{\frac {r^{4}dv^{2}}{dt^{2}}}=0\,;$

ainsi l’on peut supposer que $r^{2}dv$ reste, en vertu des perturbations, à fort peu près égal à $dt.$

Nous observerons ensuite que, relativement aux inégalités à longues périodes, $\delta \mathrm {R}$ est nul par l’article précédent. En négligeant donc, comme on le peut à l’égard de ces inégalités, ${\frac {2d^{2}(r\delta r)}{dt^{2}}},$ la formule (A) prend cette forme très simple,

$(a)\quad \qquad \qquad d\delta v=-{\frac {d(dr\delta r)}{dt}}+dt\left(2\delta .r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}\delta r\right)\,;$

$-\mathrm {R}$ est ce que nous avons nommé $\mathrm {Q}$ dans le n^o 1 du Livre VII ; et en négligeant, comme on peut le faire ici, les termes dépendant de la parallaxe et de l’excentricité solaires, on a, par le n^o 3 du Livre cité, $-\mathrm {Q}$ ou $\mathrm {R}$ égal à

$-{\frac {m^{2}r^{2}}{4}}\left[1-3s^{2}+3\left(1-s^{2}\right)\cos(2v-2v')\right]\,;$

ce qui donne

$2r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=4\mathrm {R} ,$

et par conséquent

$2\delta .r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=4\delta \mathrm {R} =0.$

La formule $(a)$ devient ainsi

$d\delta v=-{\frac {d(dr\delta r)}{dt}}+dt{\frac {m^{2}r\delta r}{2}}\left[1+3\cos(2v-2v')\right].$