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L’équation

$r^{2}={\frac {1+s^{2}}{u^{2}}}$

donne

$r\delta r=-{\frac {\delta u}{u^{3}}}+{\frac {s\delta s}{u^{2}}}\,;$

la fonction

${\frac {m^{2}dt.r\delta r}{2}}\left[1+3\cos(2v-2v')\right]$

devient donc, en y substituant pour $dt,$ ${\frac {dv}{u^{2}}},$

$(b)\quad \qquad \qquad {\frac {m^{2}dv}{2}}\left(-{\frac {\delta u}{u^{5}}}+{\frac {s\delta s}{u^{4}}}\right)\left[1+3\cos(2v-2v')\right].$

Si l’on désigne par $\mathrm {A} ^{(24)}$ le coefficient de $e\gamma ^{2}\cos(2gv-cv),$ dans l’expression de $\delta u\,;$ par $\mathrm {A} ^{(40)}$ le coefficient de $e^{2}\gamma ^{2}\cos(2gv-cv),$ dans la même expression ; et par $\mathrm {B} ^{(13)}$ le coctricient de $\gamma e^{2}\sin(2cv-gv),$ dans l’expression de $\delta s,$ tous ces coefficients devenant de l’ordre $m^{0}$ par leurs diviseurs, il est facile de voir que la fonction

$-{\frac {m^{2}}{2}}dv\left({\frac {\delta u}{u^{5}}}-{\frac {s\delta s}{u^{4}}}\right)$

donne le terme

$m^{2}dv\left({\frac {5}{4}}\mathrm {A} ^{(24)}-{\frac {1}{2}}\mathrm {A} ^{(40)}+{\frac {1}{4}}\mathrm {B} ^{(13)}\right)e^{2}\gamma ^{2}\cos(2gv-cv).$

Le coefficient $2g-2c$ de l’angle $v$ dans l’argument de ce terme, devenant diviseur en vertu de l’intégration, et la valeur de $c,$ dans ce très petit diviseur, étant doublée par les termes de l’ordre $m^{3},$ comme on l’a vu ci-dessus, il est nécessaire, pour pouvoir employer ce diviseur, d’avoir égard aux termes de l’ordre $m^{3}.$ Les termes de cet ordre sont produits par le développement de la fonction

$(c)\quad \qquad \qquad -{\frac {3m^{2}dv}{2}}\left(-{\frac {\delta u}{u^{5}}}+{\frac {s\delta s}{u^{4}}}\right)\cos(2v-2v').$

En désignant par $\mathrm {A} ^{(1)}$ le coefficient de $e\cos(2v-2mv-cv),$ dans l’expression de $u,$ $\mathrm {A} ^{(1)}$ étant, comme l’on sait, de l’ordre $m,$ on trouve