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Mais on a

$\delta .a\mathrm {R} =a\delta \mathrm {R} +\mathrm {R} \delta \,;$

et par l’article I on a, aux quantités près de l’ordre $m^{4},\delta a$ et $\delta \mathrm {R}$ nuls relativement aux inégalités à longues périodes ; on a donc, en faisant toujours $a=1,$

$2\delta .a^{2}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial a}}=2\mathrm {X} .$

Considérons maintenant l’équation dillérentielle (2) de la longitude de l’époque, elle donne

$d\delta \varepsilon =-dt\delta {\frac {e}{2}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial e}}+2dt\delta .a^{2}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial a}}\,;$

il faut déterminer $\delta .e{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial e}}.$ En substituant pour $\mathrm {R}$ sa valeur précédente, on a

$\delta .e{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial e}}=m^{2}\delta \left[ed\left({\frac {r^{2}\mathrm {Q} '}{de}}\right)\right]+\mathrm {X} \,;$

soit, en négligeant les puissances de $e$ supérieures à $e^{2},$

$m^{2}r^{2}\mathrm {Q} '=m^{2}\mathrm {H} +m^{2}e\mathrm {H} '+m^{2}e^{2}\mathrm {H} ''\,;$

on aura

$\mathrm {R} =m^{2}\mathrm {H} +m^{2}e\mathrm {H} '+m^{2}e^{2}\mathrm {H} ''+\mathrm {X} ,$

$\delta \left[e{\frac {d\left(m^{2}r^{2}\mathrm {Q} '\right)}{de}}\right]=m^{2}\delta .e\mathrm {H} '+2m^{2}\delta .e^{2}\mathrm {H} ''\,;$

mais l’expression de $\mathrm {R}$ donne, en vertu de l’équation $\delta R=0,$

$m^{2}\delta .e^{2}\mathrm {H} ''=-m^{2}\delta \mathrm {H} -\delta .m^{2}e\mathrm {H} '-\mathrm {X} \,;$

on aura donc

$\delta \left[e{\frac {d\left(m^{2}r^{2}\mathrm {Q} '\right)}{de}}\right]=-2m^{2}\delta \mathrm {H} -m^{2}\delta .e\mathrm {H} '-2\mathrm {X} .$

Par le n^o 3 du Livre VII on a

$m^{2}r^{2}\mathrm {Q} '=-{\frac {m'u'^{3}}{4u^{2}}}\left[1+3\cos(2v-2v')\right]\,;$