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de satisfaire, et d’où il suit que le rapport dout j’avais fait usage s’éloigne peu de la vérité.

En publiant mon Traité de Mécanique céleste, j’ai désiré que les géomètres en vérifiassent les résultats, et spécialement ceux qui me sont propres. Les résultats de la théorie du Système du monde sont si distants des premiers principes que leur vérification est nécessaire pour en assurer l’exactitude. Les géomètres qui s’en occupent font donc une chose très utile à rAstronomie. Je dois, comme savant et comme auteur, beaucoup de reconnaissance à ceux qui veulent bien prendre mon Ouvrage pour texte de leurs discussions et qui, par là, me fournissent l’occasion d’éclaircir quelques points délicats traités dans cet Ouvrage. Ainsi, dans le Mémoire cité, M. Plana étant parvenu par une analyse, qui n’est point irréprochable, à des équations différentielles du mouvement de l’orbite du dernier satellite de Saturne, qu’il croit devoir être substituées à celles que j’ai données à la page 182 du quatrième Volume de la Mécanique céleste, j’ai de nouveau examiné mes équations, et j’en ai confirmé l’exactitude par une autre méthode, comme je le montrerai dans un prochain Mémoire.

Je reprends l’équation (7) du n^o 9 du deuxième Livre de la Mécanique céleste ^[1]. En n’y considérant que l’action mutuelle du Soleil dont je désigne la masse par $\mathrm {M} ,$ de Jupiter dont je désigne la masse par $m,$ et de Saturne dont je désigne la masse par $m'\,;$ en nommant $x,y,z$ les trois coordonnées orthogonales de Jupiter, rapportées au centre du Soleil, $x',y',z'$ celles de Saturne, $r$ et $r'$ leurs rayons vecteurs ; enfin $dt$ exprimant l’élément du temps $t,$ cette équation donnera

${\begin{aligned}\mathrm {const} .=&(\mathrm {M} +m')m{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-2(\mathrm {M} +m+m'){\frac {\mathrm {M} m}{r}}\\&+(\mathrm {M} +m)m'{\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{dt^{2}}}-2(\mathrm {M} +m+m'){\frac {\mathrm {M} m'}{r'}}\\&-2mm'\left({\frac {dxdx'}{dt^{2}}}+{\frac {dydy'}{dt^{2}}}+{\frac {dzdz'}{dt^{2}}}\right)\\&-{\frac {2(\mathrm {M} +m+m')mm'}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}.\end{aligned}}$

1. Œuvres de Laplace, T. I, p. 147.