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On a, par le n^o 46 du deuxième Livre ^[1],

${\begin{aligned}{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}=&{\frac {2(\mathrm {M} +m)}{r}}-2\int d\mathrm {R} +\mathrm {const} .,\\{\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{dt^{2}}}=&{\frac {2(\mathrm {M} +m')}{r'}}-2\int d'\mathrm {R} '+\mathrm {const} .\,;\end{aligned}}$

$\mathrm {R}$ étant égal à

${\frac {m'(xx'+yy'+zz')}{r'^{3}}}-{\frac {m'}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}\,;$

la différentielle $d$ sous le signe intégral $\int$ se rapportant aux seules coordonnées de Jupiter, et la différentielle $d'$ se rapportant aux seules coordonnées de Saturne ; on aura donc

(A)

$\left\{{\begin{aligned}(\mathrm {M} +&m')m\int d\mathrm {R} +(\mathrm {M} +m)m'\int d'\mathrm {R} '\\=&mm'\left({\frac {m}{r}}+{\frac {m'}{r}}\right)-mm'{\frac {dxdx'+dydy'+dzdz'}{dt^{2}}}\\&-{\frac {(\mathrm {M} +m+m')mm'}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}+\mathrm {const} .\end{aligned}}\right.$

Il faut maintenant considérer les termes de cette équation, affectés du très petit diviseur $5n'-2n,$ et qui ont pour argument $5n't-2nt,$ $nt$ et $n't$ étant les moyens mouvements de Jupiter et de Saturne. Ces termes sont en effet les seuls qui, acquérant encore ce diviseur par une nouvelle intégration, donnent dans les expressions de $\iint d\mathrm {R}$ et de $\iint d'\mathrm {R} ',$ et par conséquent dans les expressions de la longitude des deux planètes, des termes ayant pour diviseur $(5n'-2n)^{2}.$ Pour les déterminer, nous observerons que les fonctions

$-mm'{\frac {dxdx'+dydy'+dzdz'}{dt^{2}}},\quad {\frac {-(\mathrm {M} +m+m')mm'}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}$

ne renferment point de termes semblables de l’ordre $m^{2}.$ Car on obltient les termes de l’ordre $m^{2},$ dans ces fonctions, en y substituant, au lieu de $x,x',y,y',\ldots ,$ leurs valeurs elliptiques, et il est clair qu’en développant ces fonctions, elles ne donneront point de termes ayant pour diviseur $5n'-2n.$ Il faut donc, pour avoir des termes semblables dans

1. Œuvres de Laplace, T. I, p. 278.