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ce qui donne

${\frac {ma'n'}{m'an}}={\frac {m{\sqrt {a}}}{m'{\sqrt {a'}}}}\,;$

de plus, si l’on nomme $\zeta$ et $\zeta '$ les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, on a à fort peu près, par le n^o 64 du deuxième Livre,

$\zeta '=\int 3a'n'dt\int d'(\mathrm {R} ')\,;$

l’équation (Z) donnera donc

$\int 3a'n'dt\int d'\delta \mathrm {R} '=-{\frac {m{\sqrt {a}}}{m'{\sqrt {a'}}}}\int 3andt\int d\delta \mathrm {R} +(m'-m)\zeta '.$

Suivant M. Plana, dans son Mémoire cité ^[1], on a en secondes sexagésimales

$\int 3andt\int d\delta \mathrm {R} =-1''{,}9200\sin(5n't-2nt)+5''{,}5575\cos(5n't-2nt)\,;$

on aura donc, en observant que l’on a

$m={\frac {1}{1070}},\qquad m'={\frac {1}{3512}},\qquad \log {\frac {m{\sqrt {a}}}{m'{\sqrt {a'}}}}=0{,}3844953,$

$\int 3a'n'dt\int d'\delta \mathrm {R} '$

$=4''{,}6537\sin(5n't-2nt)-10''{,}6998\cos(5n't-2nt)+\left({\frac {1}{3512}}-{\frac {1}{1070}}\right)\zeta '\,;$

la valeur de $\zeta '$ du n^o 35 du sixième Livre ^[2] est, en la réduisant en secondes sexagésimales,

$-2931''\sin(5n't-2nt)-223''\cos(5n'-2nt)\,;$

on aura ainsi

$\int 3a'n'dt\int d'\delta \mathrm {R} '=6''{,}559\sin(5n't-2nt)-10''{,}555\cos(5n't-2nt)\,;$

M. Plana trouve ^[3]

$\int 3a'n'dt\int d'\delta \mathrm {R} '_{1}=25''{,}1036\sin(5n't-2nt)-12''{,}8932\cos(5n't-2nt),$

1. Mémoires de la S. R. A., T. II, p. 397.
2. Œuvres de Laplace, T. III, p. 147.
3. Mémoire cité, p. 405.