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Les équations (3) et (4) ne renferment plus avec $v$ que les variables \lambda et $\Pi ,$ si l’on suppose invariables l’orbite et l’équateur de Saturne, ce que l’on peut, à fort peu près, supposer ; on aura donc ces variables en intégrant ces équations. Sous cette forme, l’intégration est très difficile ; mais on peut, par l’analyse exposée dans le n^o 35 du Livre VIII de la Mécanique céleste^[1], la ramener, au moyen d’une transformation convenable des variables, à la rectification des sections coniques.

Si l’on conçoit un plan fixe qui passe entre l’équateur et l’orbite de Saturne, par leur commune intersection ; et qui soit incliné à cet équateur d’un angle $\theta$ tel que

$\operatorname {tang} 2\theta ={\frac {k\sin 2\mathrm {A} }{k+k'\cos 2\mathrm {A} }},$

on nommant $\varpi$ l’inclinaison de l’orbite du satellite à ce plan, et $\Pi '$ la distance angulaire du nœud de cette orbite avec ce plan, et du nœud de l’équateur avec l’orbite de Saturne, le premier de ces nœuds étant supposé moins avancé que le second, en longitude ; si l’on fait

${\begin{aligned}q=&{\frac {1}{4}}\left(k+k'-\ \ {\sqrt {k^{2}+2kk'\cos 2\mathrm {A} +k'^{2}}}\right),\\p=&{\frac {1}{4}}\left(k+k'+3{\sqrt {k^{2}+2kk'\cos 2\mathrm {A} +k'^{2}}}\right),\end{aligned}}$

on aura, par le numéro cité,

${\begin{aligned}\sin \varpi =&{\frac {b}{\sqrt {p-q\cos 2\Pi '}}},\\dv=&{\frac {d\Pi '}{\sqrt {(p-q\cos 2\Pi ')(p-b^{2}-q\cos 2\Pi ')}}},\end{aligned}}$

$b$ étant une constable arbitraire. En faisant

$\operatorname {tang} \Pi '={\sqrt {\frac {p-q}{p+q}}}\operatorname {tang} \Pi '',$

on aura

$dv={\frac {d\Pi ''}{\sqrt {p^{2}-q^{2}-b^{2}p-b^{2}q\cos 2\Pi ''}}}.$

1. Œuvres de Laplace, T. IV, p. 173.