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les équations $(o)$ donnent

$(u)\qquad \qquad \qquad \qquad x=\mathrm {E} _{i}\cos 2iq-\mathrm {F} _{i}\sin 2iq\,;$

on peut former autant d’équations semblables qu’il y a de syzygies et que $i$ a de valeurs. En nommant donc $n$ le nombre de syzygies, $n$ étant un grand nombre ; en nommant $s'$ le nombre des valeurs de $i,$ on aura $ns'$ valeurs de $x\,;$ d’où il font conclure la valeur la plus avantageuse, c’est-à-dire celle dans laquelle l’erreur moyenne à craindre, en plus ou en moins, est la plus petite.

On doit pour cela multiplier chacunc des $ns'$ équations que représente l’équation $(u)$ par un facteur convenable. J’ai fait voir [p. 32 du troisième Supplément à ma Théorie analytique des probabilités^[1]] que, si l’on a entre les éléments $x,y,z,\ldots$ un grand nombre d’équations de condition représentées par la suivante :

$(i)\ \ l^{(s)}x+p^{(s)}y+q^{(s)}z+\ldots =a^{(s)}+m^{(s)}\gamma ^{(s)}+n^{(s)}\lambda ^{(s)}+r^{(s)}\delta ^{(s)}+\ldots ,$

le facteur le plus avantageux par lequel cette équation doit être multipliée est

${\frac {1}{{\cfrac {k''}{k}}m^{(s)^{2}}+{\cfrac {\overline {k''}}{\overline {k}}}n^{(s)^{2}}+{\cfrac {\overline {\overline {k''}}}{\overline {\overline {k}}}}r^{(s)^{2}}+\ldots }},$

$kk'',{\overline {k}}\,{\overline {k''}},\ldots$ dépendant des lois de probabilité des erreurs $\gamma ^{(s)},\lambda ^{(s)},\ldots$ de la manière suivante : si $\varphi \left(\gamma ^{(s)}\right)$ est la loi de probabilité de l’erreur $\gamma ^{(s)},$ cette loi étant supposée la même pour les erreurs positives et pour les erreurs négatives, on a

$k=2\int d\gamma ^{(s)}\varphi \left(\gamma ^{(s)}\right),\qquad k''=\int d\gamma ^{(s)}\gamma ^{(s)^{2}}\varphi \left(\gamma ^{(s)}\right),$

les intégrales étant prises depuis zéro jusqu’à l’infini : pareillement, si $\psi \left(\lambda ^{(s)}\right)$ est la loi de probabilité des erreurs $\lambda ^{(s)},$ on a

${\overline {k}}=2\int d\lambda ^{(s)}\psi \left(\lambda ^{(s)}\right),\qquad {\overline {k''}}=\int d\lambda ^{(s)}\lambda ^{(s)^{2}}\psi \left(\lambda ^{(s)}\right),$

1. Œuvres de Laplace, T. VII, p. 612.