Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 13.djvu/364

$\mathrm {B} _{i}^{'(s)},\mathrm {B} _{i}^{''(s)}$ est égale à la précédente. En ajoutant donc ces deux sommes, on aura

$4{\cfrac {1}{1+2{,}324\sin ^{2}2iq}}\ {\cfrac {1}{n^{2}\left(\sum {\cfrac {1}{1+2{,}324\sin ^{2}2iq}}\right)^{2}}}.$

Chaque syzygie fournit une quantité semblable ; la somme de toutes ces quantités sera donc, pour les $n$ syzygies, la quantité précédente multipliée par le nombre $n$ de syzygies. Cette somme sera donc, relativement à toutes les syzygies, et relativement à toutes les valeurs de $i,$ c’est à-dire relativement à toutes les observations,

${\frac {4}{n\sum {\cfrac {1}{1+2{,}324\sin ^{2}2iq}}}}.$

Ainsi la probabilité que $l$ sera l’erreur de $x$ peut être supposée égale à

$\mathrm {H} c^{-{\frac {l^{2}n}{16{\frac {k''}{k}}}}\sum {\frac {1}{1+2{,}324\sin ^{2}2iq}}},$

$\mathrm {H}$ étant une constante qu’il faut déterminer. Pour cela, j’observe que si l’on intègre cette différentielle depuis $l=-\infty$ jusqu’à $l=\infty ,$ l’intégrale doit être l’unité, puisqu’il est certain que la valeur de $l$ est comprise dans ces limites ; en faisant donc

$g^{2}={\frac {nk}{16k''}}\sum {\frac {1}{1+2{,}324\sin ^{2}2iq}},$

on doit avoir

$\mathrm {H} \int _{-\infty }^{+\infty }dlc^{-g^{2}l^{2}}=1.$

Mais on a, par un théorème connu,

$\int _{-\infty }^{\infty }gdlc^{-g^{2}l^{2}}={\sqrt {\pi }},$

$\pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité ; on a donc

$\mathrm {H} ={\frac {g}{\sqrt {\pi }}}.$