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Ainsi la probabilité que l’erreur de la valeur de $x\,;$ sera comprise dans des limites données est

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int gdlc^{-g^{2}l^{2}},$

l’intégrale étant prise dans ces limites.

On trouvera de la même manière que la probabilité que l’erreur de la valeur de $y$ sera comprise dans les limites données est

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int g'dlc^{-g'^{2}l^{2}},$

l’intégrale étant prise dans ces limites, et $g'^{2}$ étant égal à

${\frac {nk}{16k''}}\sum {\frac {1}{1+2{,}324\cos ^{2}2iq}}.$

Il faut maintenant déterminer par les observations la valeur numérique de ${\frac {k}{k''}}.$ Pour cela, j’observe que par ma Théorie analytique des probabilités^[1], si l’on nomme $e$ la somme des carrés des différences des variations journalières de $9^{\mathrm {h} }$ du matin à $3^{\mathrm {h} }$ du soir, d’un grand nombre $s$ de jours à leur variation moyenne, on a, avec une très grande vraisemblance,

${\frac {2k''}{k}}s=e,$

ce qui donne

${\frac {k}{k''}}={\frac {2s}{e}}.$

Le calcul de ${\frac {k}{k''}}$ devient pénible lorsque $s$ est très considérable ; mais on peut le simplifier de la manière suivante :

Je conçois le nombre $s$ de jours partagé en groupes de jours, par exemple, dans un nombre $i$ de mois moyens, et je suppose $s$ assez grand pour que $i$ soit lui-même un grand nombre. Je désigne par ${\overline {k}}$ et ${\overline {k''}},$ relativement à ces mois, ce que j’ai nommé $k$ et $k''$ relativement aux jours. Soit encore $\mathrm {E}$ la somme des carrés des différences des erreurs des varia-

1. Œuvres de Laplace, T. VII, p. 317.