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la division décimale du quart de cercle ; les variations précédentes des excentricités et des périhélies doivent donc affecter sensiblement ces inégalités et donner lieu à de petites inégalités auxquelles il est utile d’avoir égard : c’est ce que j’ai fait et, par ce moyen, la théorie s’est rapprochée de l’observation. J’ai reconnu encore qu’il était utile de substituer ces variations dans les termes de l’expression elliptique de la longitude vraie en fonction de la longitude moyenne qui dépendent du cube des excentricités. J’exposerai le détail de toutes ces substitutions dans un Supplément à la Théorie des planètes qui paraîtra dans le quatrième Volume de la Mécanique céleste.

On a vu, dans le n^o 17 du sixième Livre^[1], que, $t$ représentant un nombre quelconque d’années juliennes, et $n^{\text{ıv}}t+\varepsilon ^{\text{ıv}}$ et $n^{\text{v}}t+\varepsilon ^{\text{v}}$ étant les longitudes moyennes de Jupiter et de Saturne, comptées d’un équinoxe fixe, il faut dans tous les arguments de Jupiter et de Saturne, dans lesquels le coefficient de $t$ n’est pas $5n^{\text{v}}-2n^{\text{ıv}}$ ou n’est pas $n^{\text{ıv}}\pm \left(5n^{\text{v}}-2n^{\text{ıv}}\right)$ pour Jupiter et $n^{\text{v}}\pm \left(5n^{\text{v}}-2n^{\text{ıv}}\right)$ pour Saturne, augmenter $n^{\text{ıv}}t+\varepsilon ^{\text{ıv}},$ de la grande inégalité de Jupiter, et $n^{\text{v}}t+\varepsilon ^{\text{v}},$ de la grande inégalité de Saturne. Nommons $\varphi ^{\text{ıv}}$ et $\varphi ^{\text{v}}$ ces longitudes ainsi augmentées. On pourra encore les employer dans l’inégalité de Jupiter, dépendante de $3n^{\text{ıv}}t-5n^{\text{v}}t\,;$ et dans l’inégalité de Saturne, dépendante de $2n^{\text{ıv}}t-4n^{\text{v}}t\,;$ car, en substituant dans ces deux inégalités, au lieu de $n^{\text{ıv}}t+\varepsilon ^{\text{ıv}},$ $\varphi ^{\text{ıv}}$ moins la grande inégalité de Jupiter, et au lieu de $n^{\text{v}}t+\varepsilon ^{\text{v}},$ $\varphi ^{\text{v}}$ moins la grande inégalité de Saturne, on aura, en développant en série, au lieu des deux inégalités précédentes, une suite d’inégalités qui ne dépendent que de $\varphi ^{\text{ıv}}$ et de $\varphi ^{\text{v}}\,;$ et par là, toutes les inégalités de Jupiter et de Saturne, à l’exception des deux grandes inégalités, seront ramenées à ne dépendre que de $\varphi ^{\text{ıv}}$ et de $\varphi ^{\text{v}}.$

J’ai obtenu de cette manière les formules des longitudes vraies de Jupiter et de Saturne. Pour comparer ces formules aux observations, M. Bouvard a fait usage des oppositions de Jupiter et de Saturne,

1. Œuvres de Laplace, T. III, p. 55.