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on peut donc recouvrir la sphère avec quatre ou une infinité de polygones réguliers de quatre côtés.

Supposons $x=5,$ nous aurons

$z={\frac {4y}{10-3y}}.$

Si l’on fait $y=3,$ on a

$z=12\,;$

on ne peut donc couvrir la sphère que d’une manière avec des polygones réguliers de cinq côtés.

Supposons enfin $x=6,$ nous aurons

$z={\frac {y}{3-y}}.$

Si l’on fait $y=3,$

$z=\infty \,;$

on ne peut donc couvrir la sphère que d’une manière avec des polygones réguliers de six côtés, en les prenant en nombre infini.

Si l’on ne considère que des polygones finis, on voit que la sphère ne peut être recouverte avec des polygones égaux et réguliers que de cinq manières ; savoir, de trois manières avec des triangles, d’une manière avec des polygones de quatre côtés, et d’une manière avec des polygones de cinq côtés.

Si l’on considère les polygones infiniment petits, on a encore trois manières de recouvrir la sphère : savoir, avec des triangles, des carrés et des hexagones ; or, si l’on suppose le rayon de la sphère infini, une partie finie de la surface se confond avec un plan ; on ne peut donc recouvrir que des trois manières précédentes une surface plane avec des polygones égaux et réguliers.

Il suit de ce qui précède qu’il ne peut y avoir que cinq polyèdres réguliers : savoir, le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le de décaèdre et l’icosaèdre ; le premier, le troisième et le cinquième de ces corps ayant des faces triangulaires, les faces des deux autres étant des carrés et des