l’on a généralement
![{\displaystyle \left(\cos x\pm {\sqrt {-1}}\sin x\right)^{n}=\cos nx\pm {\sqrt {-1}}\sin nx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f721eefec27d0092aa7a78038f00be324b9327f5)
Cette formule, l’une des plus utiles de l’Analyse, a, comme celle du binôme, l’avantage de s’étendre aux valeurs de
entières et fractionnaires, positives et négatives, irrationnelles et même imaginaires.
Il est facile, au moyen de cette formule, de développer une fonction quelconque de sinus et de cosinus de l’angle
en sinus et cosinus de ses multiples ; pour cela, il suffit de substituer dans cette fonction
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\cos x+{\sqrt {-1}}\sin x\right)+{\frac {1}{2}}\left(\cos x-{\sqrt {-1}}\sin x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39fea647d19c8f9c951da34d466cdf3a1b4c1fdf)
au lieu de
et
![{\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\left(\cos x+{\sqrt {-1}}\sin x\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\left(\cos x-{\sqrt {-1}}\sin x\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f160350aa3c38d490d4ba13f5aaeef5f37853ea5)
au lieu de
et de développer ensuite la fonction par rapport aux puissances et aux produits de
![{\displaystyle \left(\cos x+{\sqrt {-1}}\sin x\right)\quad {\text{et de}}\quad \left(\cos x-{\sqrt {-1}}\sin x\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3295ac233557571c2c21675bb16b00f6f0b7b510)
Ces puissances et ces produits se réduisent en sinus et cosinus de multiples de
en observant que le produit de
![{\displaystyle \left(\cos x\pm {\sqrt {-1}}\sin x\right)^{i'}\quad {\text{par}}\quad \left(\cos x\mp {\sqrt {-1}}\sin x\right)^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3df18edd605fe6a87a7d70f51de38dea7b57bdc)
est égal à
![{\displaystyle \left[\cos(i'-i)x\pm {\sqrt {-1}}\sin(i'-i)x\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd5ecdda18d67a96cc0171b584c7dbc0c6245ae6)
on aura ainsi les expressions connues des puissances des sinus, cosinus, tangentes, … d’un angle quelconque. Vous trouverez tous les développements que l’on peut désirer sur cet objet dans l’introduction à l’analyse des infiniment petits, par Euler, Ouvrage excellent, dont je vous recommanda la lecture, comme indispensable à tous ceux qui veulent faire des progrès dans l’Analyse.