La formule précédente donne un moyen simple de décomposer en facteurs le binôme
Pour cela, supposons
et considérons l’équation
Si l’on y suppose
![{\displaystyle y=\cos x\pm {\sqrt {-1}}\sin x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177b0747753638e78f06b8c6197e0e8bfb513744)
on aura
![{\displaystyle \cos nx\pm {\sqrt {-1}}\sin nx=\mp 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa690a93f8aa5b0f3c2d59961d08e5feda16efc)
ce qui donne
![{\displaystyle \cos nx=\mp 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66014c7ab5bac307284b1bec2e658b0c9695507d)
Si le signe
a lieu, on a
![{\displaystyle nx=2ic,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77348877b84b5b9d30952e01c36f85ec4f595b5a)
étant zéro ou un nombre entier, et
étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité ; on a donc alors
![{\displaystyle y=\cos {\frac {2ic}{n}}\pm {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2ic}{n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd6d36c68633cfba06199a95d6a7c447788ab23)
les facteurs de
sont donc les diverses quantités que l’on obtient en faisant
égal à
jusqu’à
ou
suivant que
est pair ou impair, dans la fonction
![{\displaystyle y=\cos {\frac {2ic}{n}}\mp {\sqrt {-1}}\sin {\frac {2ic}{n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ff66b5fc75c889b2627de5c76246d64fe2383e)
les valeurs ultérieures de
reproduisent les mêmes facteurs ; ainsi la fonction
![{\displaystyle x-a\cos {\frac {2ic}{n}}\mp a{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2ic}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3141b3eb4fe46a237d12c95b92cc799cb98c57c5)
représente les facteurs de ![{\displaystyle x^{n}-a^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b535385d754e5a7679ca68f22a43ee41e42346)
Si l’on a
on aura
![{\displaystyle nx=(2i+1)c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22dccf41075ffe877330081890d3a889e25aa529)
et, dans ce cas, les facteurs de
seront compris dans la forme
![{\displaystyle x-a\cos {\frac {(2i+1)}{n}}c\pm a{\sqrt {-1}}\sin {\frac {(2i+1)}{n}}c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32f798078489b146809fab9f48ee7757d30fc289)