La résolution des équations du quatrième degré dépend d’une réduite du troisième degré ; ses racines sont une fonction très simple de celles de la réduite ; on pourra donc les déterminer facilement par la méthode précédente.
Vous voyez par ce qui précède que l’application de l’Algèbre à la Géométrie a pour objet de faire servir les méthodes de l’Analyse à la détermination d’un ou de plusieurs points d’après des conditions données. Mais, si le nombre des équations qui résultent de ces conditions est insuffisant pour la détermination de ces points, il en existe alors une infinité dont l’ensemble forme des surfaces ou des lignes.
La manière la plus simple de fixer la position d’un point dans l’espace consiste à le rapporter à trois plans perpendiculaires entre eux. Les distances du point à chacun de ces plans se nomment coordonnées, et les intersections mutuelles des plans sont les axes des coordonnées qui leur sont parallèles. exprimant ces coordonnées, est la distance du point au plan dans lequel sont les axes des et des la rencontre de avec ce plan est la projection du point, et est la distance de cette projection à l’axe des Enfin, est la distance du point où la perpendiculaire à l’axe des rencontre cet axe, à l’intersection commune des trois axes, intersection qui est l’origine des coordonnées. Cette distance se nomme alors abscisse, et les deux autres lignes, et se nomment ordonnées. Si l’on considère comme positives les coordonnées prises d’un certain côté de leur origine, elles seront négatives prises du côté opposé.
Si l’on n’a qu’une équation entre les trois coordonnées, la position du point est indéterminée, et le lieu de tous les points qui y satisfont est une surface dont cette équation exprime la nature.
Si l’on a deux équations entre ces trois coordonnées, la position du point est encore indéterminée ; le lieu de tous les points qui satisfont à ces équations est à la fois sur les deux surfaces qu’elles représentent ; elle est donc sur la ligne formée par leur commune intersection ; et cette ligne se nomme courbe à double courbure quand elle n’est pas située dans un même plan.
