mémoire
sur
divers points d’analyse.
Journal de l’École Polytechnique, XVe Cahier, Tome VIII ; 1809.
I.
Sur le calcul des fonctions génératrices.
L’objet de ce calcul est de ramener au simple développement des fonctions toutes les opérations relatives aux différences, et spécialement l’intégration des équations aux différences ordinaires ou partielles : en voici l’idée principale. Soit
une fonction quelconque de
et supposons qu’en la développant par rapport aux puissances de
on ait
![{\displaystyle u=y_{0}+y_{1}t+y_{2}t^{2}+\ldots +y_{x}t^{x}+\ldots +y_{\infty }t^{\infty }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8008db765f92f83e277b5245df0972024ef58c41)
est ce que l’on nomme fonction génératrice de
ou du coefficient de
dans son développement. Il est visible que
ou
sera le coefficient de
dans le développement de
en sorte que, pour avoir la fonction génératrice de la différence finie d’une variable, il suffit de multiplier par
la fonction génératrice de cette variable ;
sera donc la fonction génératrice de
et, généralement, la fonction génératrice de
sera
Maintenant on a
![{\displaystyle u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n}=u\left[{\frac {1}{t^{n}}}-{\frac {n}{t^{n-1}}}+{\frac {n(n-1)}{1.2t^{n-2}}}-\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19bcc5561a0e8a74992cb3808dc5845c1425f5fc)