le coefficient de
dans
est évidemment
celui de
dans
est
et ainsi de suite ; en égalant donc les coefficients de
dans les deux membres de l’équation précédente, c’est-à-dire en repassant des fonctions génératrices à leurs coefficients, on aura
![{\displaystyle \Delta ^{n}y_{x}=y_{x+n}-ny_{x+n-1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}y_{x+n-2}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12fc6c9aab0bfd6e71d6c546ae2dbbb7a27287c8)
Si, au lieu de multiplier la fonction
par
on la multipliait par toute autre quantité, on aurait des résultats analogues. Soit, par exemple,
ce nouveau multiplicateur ; le coefficient de
dans le développement de la fonction
![{\displaystyle u\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e8dfc02c2770eab5130ff16dc2ddb71d2b490a)
sera
soit
ce coefficient, et désignons par
la quantité
par
la quantité
et ainsi de suite ; la fonction génératrice de
sera
![{\displaystyle u\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots \right)^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/846d8d57d32d35aa7061a498d3f60c7765cac3e8)
et, en développant
en série, on aura une équation de cette forme :
![{\displaystyle u\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots \right)^{n}=u\left(\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {B} }{t}}+{\frac {\mathrm {C} }{t^{2}}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee35ed91b932ec8a4ebefa04c3b3853348f0fed)
Cette équation donnera, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,
![{\displaystyle \nabla ^{n}y_{x}=\mathrm {A} y_{x}+\mathrm {B} y_{x+1}+\mathrm {C} y_{x+2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b24fa3e4f2df8d4783986fc8ac3012aa916db5)
Je renvoie, pour le développement de ce calcul des fonctions génératrices, aux Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1779[1]. Je me bornerai ici à présenter quelques nouveaux théorèmes qui eu résultent.
- ↑ Œuvres de Laplace, T. X, p. 1.