férentielle de second ordre,
![{\displaystyle 0={\frac {\left(4b-a^{2}\right)l-bc^{2}+ahc-h^{2}}{\left(4b-a^{2}\right)^{2}}}\mu +{\frac {d\mu }{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}\mu }{d\theta ^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7eaf1b875e85f2e01fe519d22d24001ddcd61be)
de manière que l’on ait ![{\displaystyle \mu =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517fd746fdb7af83d9cc95d113d91106beca30b0)
![{\displaystyle {\frac {d\mu }{d\theta }}={\frac {bc^{2}-ahc+h^{2}-\left(4b-a^{2}\right)l}{\left(4b-a^{2}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8038a37e68e22c177dc21e876100970dc0a48325)
lorsque
est nul, et si l’on désigne par
cette intégrale, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}z=e^{\frac {(ac-2h)y+(ah-2bc)x}{4b^{2}-a^{2}}}&\left\{\quad \int dt{\text{⅃}}\left[(y+f'x)(y+f\ x-t)\right]\varphi (t)\right.\\&\left.\quad +\int dt{\text{⅃}}\left[(y+f\ x)(y+f'x-t)\right]\psi (t)\right\},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba846fc1244695758a10892fb9637d10b78ee6a5)
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité.
et
sont deux fonctions arbitraires de
la première intégrale doit être prise depuis
jusqu’à
et la seconde, depuis
jusqu’à ![{\displaystyle t=y+f'x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc370630cc68f783cebe654bb1d197bbf4b673a9)
Si lon a
![{\displaystyle \left(4b-a^{2}\right)l-bc^{2}+ach-h^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07596ec6000e389f570916c7909a063d8c91cffc)
alors
se réduit à l’unité, et l’on a
![{\displaystyle z=e^{(ac-2h)y+(ah-2bc)x}\left[\varphi _{\text{ı}}(y+fx)+\psi _{\text{ı}}(y+f'x)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/644f7943222e0791df6934036148035c4d5a319c)
en désignant par
et
les intégrales
et
on aura donc alors, sous forme finie d’intégrales indéfinies, l’expression de
mais c’est le seul cas dans lequel cela est possible : dans tous les autres cas l’intégrale n’est possible, en termes finis, qu’au moyen d’intégrales définies.
L’analyse précédente suppose que les deux racines
et
de l’équation
sont inégales. Si elles sont égales, alors
est égal à
et la transformation précédente des variables
et
dans
et
ne peut avoir lieu. Dans ce cas, supposons
nul dans l’équation
et
la racine de l’équation
La condition de l’égalité des racines de cette équation donne