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l’équation (b) devient ainsi

$0=b{\frac {\partial ^{2}z}{\partial s^{2}}}+(cf'+h){\frac {\partial z}{\partial s'}}+h{\frac {\partial z}{\partial s}}+lz.$

Si l’on fait ensuite

$z=ue^{{\frac {-hs}{2b}}-{\frac {\left(4bl-h^{2}\right)x'}{4b^{2}(cf'+h)}}},\qquad s'=\left({\frac {cf'+h}{b}}\right)x',$

on aura cette équation très simple

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial s^{2}}}={\frac {\partial u}{\partial x'}}.$

J’ai fait voir, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour année 1773, page 360^[1], que son intégrale est impossible en termes finis, au moyen d’intégrale indéfinies, et que l’expression de $u$ ne peut être donnée par une série ascendante d’intégrales indéfinies d’une fonction arbitraire. On a observé depuis qu’elle pouvait l’être par une série ascendante de différences de ce genre de fonctions ; et ce qui est digne de remarque, M. Poisson a fait voir que l’expression de $u$ ne dépend que d’une seule fonction arbitraire, quoique l’équation soit aux différences partielles du second ordre.

Dans les questions délicates de l’Analyse infinitésimale, il est très utile de considérer les choses relativement aux différences finies, et de voir les modifications qu’elles subissent dans le passage du fini à l’infiniment petit. C’est ainsi que j’ai fait voir, dans les Mémoires cités de l’Académie des Sciences pour l’année 1779^[2], la nécessite d’introduire les fonctions discontinues, dans les intégrales des équations à différences partielles, et les conditions auxquelles ces fonctions doivent être assujetties. Je vais employer le méme moyen pour déterminer le nombre des fonctions arbitraires que doit renfermer l’intégrale de l’équation précédente.

Soit $u$ une fonction des deux quantités $t$ et $t',$ et concevons qu’en la

1. Œuvres de Laplace, T. IX, p. 26.
2. Œuvres de Laplace, T. X, p. 80 et suiv.